Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 18. Математика. ЕГЭ 2027. Демо-1

Просмотры: 82
Изменено: 31 августа 2026

Окружность с центром \(O\) касается боковых сторон \(AB\) и \(BC\) равнобедренного остроугольного треугольника \(ABC\) и его высоты \(CH.\)

  • а) Докажите, что \(\angle OAC = 45^\circ .\)
  • б) Найдите длину отрезка \(BC,\) если \(BO = 1\) и \(AC = 6.\)

Решение:

а)

Центр \(O\) вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис \(BG\) и \(CO\) углов \(HBC\) и \(BCH\) треугольника \(CHB.\) Угол \(COG\) между этими биссектрисами равен \(45^\circ .\) Действительно, в прямоугольном треугольнике \(CHB\) $$\angle HBC + \angle HCB = 90^\circ .$$ Так как \(BO\) и \(CO\) — биссектрисы углов \(HBC\) и \(HCB,\) то по теореме о внешнем угле треугольнка $$\angle GOC = \angle OBC + \angle OCB = 45^\circ .$$ Далее, так как биссектриса \(BG\) в равнобедренном треугольнике \(ABC\) является также медианой и высотой, а также серединным перпендикуляром, то \(\triangle OGC\) — прямоугольный. Значит, \(\angle OCG = 45^\circ .\)

Наконец, так как \(BG\) — серединный перпендикуляр, то \(OA = OC.\) Поэтому \(\triangle AOC\) — равнобедренный. Отсюда, \(\angle OAC = \angle OCA = 45^\circ .\) Ч.т.д.

б) В ходе доказательства пункта а) было доказано, что \(\triangle OCG\) — прямоугольный и равнобедренный. Поэтому, \(GO = GC = AC / 2 = 3.\) Тогда \(BG = BO + OG = 1 + 3 = 4.\) По теореме Пифагора $$BC = \sqrt{BG^2 + CG^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$$

Ответ: б) \(5\)

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года