Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 18. Математика. ЕГЭ. Статград. 23.04.2025-1

Просмотры: 1651
Изменено: 24 апреля 2025

Найдите все значения \(a,\) при каждом из которых уравнение $$9^x - 3^x \cdot \left( 4^a + 4 \right) = 3^x \cdot \left( 16 - 2^a \right) + \left( 4^a + 4 \right) \cdot \left( 2^a - 16 \right)$$ имеет единственное решение.

Решение:

Преобразуем исходное уравнение следующим образом: $$3^{2x} - 3^x \cdot \left( (4^a + 4) + (16 - 2^a) \right) + \left( 4^a + 4 \right) \cdot \left( 16 - 2^a \right) = 0.$$ Это — квадратное уравнение, относительно \(3^x,\) которое по теореме Виета имеет следующие решения: \(3^x = 4^a + 4\) и \(3^x = 16 - 2^a.\) Первое из этих уравнений всегда имеет решение, потому что \(4^a + 4 > 0 \,\,\forall a \in \mathbb{R}.\) Поэтому, исходное уравнение имеет единственное решение или в случае, когда оба корня совпадают, или когда \(16 - 2^a \leqslant 0.\)

Первый случай. \(4^a + 4 = 16 - 2^a.\) Это уравнение легко преобразовать в \(2^{2a} + 2^a - 12 = 0.\) Решая его относительно \(2^a\) по теореме Виета получаем, что либо \(2^a = -4\) и это уравнение не имеет решений в действительных числах, либо \(2^a = 3,\) т.е. \(a = \log_2 3.\)

Второй случай. \(16 - 2^a \leqslant 0,\) т.е. \(2^a \geqslant 2^4, \) \(a \geqslant 4.\)

Ответ: \(\log_2 3; \, [4; \, +\infty).\)

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года