Решение:

а) Да, может. Если в группе всего \(9\) мальчиков, то девочек в ней \(20 - 9 = 11.\) Пусть и в кино, и в театр сходили все \(11\) девочек. И пусть театр посетили \(3\) мальчика, а в кино сходили оставшиеся \(6\) мальчиков. Получаем тогда, что $$\frac{3}{13} (11 + 3) = 3 \cdot \frac{14}{13} > 3$$ $$\frac{3}{8} (11 + 6) = 3 \cdot \frac{17}{8} > 6$$ Эти два неравенства удовлетворяют требованию пункта а задания.

б) Наибольшее количество мальчиков получится в том случае, когда мальчики ходят либо только в кино, либо только в театр, а все девочки ходят и в театр, и в кино. Пусть в группе \(m\) мальчиков, тогда девочек в группе \((20 - m).\) Далее, пусть в театр сходили \(t\) мальчиков, тогда в кино пошли \((m-t)\) мальчиков. Получаем следующие неравенства $$ \begin{cases} t \leqslant \cfrac{3}{13} (20 - m + t) \\ m - t \leqslant \cfrac{3}{8} (20 - m + m - t) \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 8 m - 5 t \leqslant 60 \\ 10 t + 3 m \leqslant 60 \end{cases} $$ $$ 19 m \leqslant 180 $$ Отсюда получаем, что наибольшее натуральное \(m,\) удовлетворяющее этому условию, равно \(9.\)

в) Пусть в группе \(d\) девочек, \(m\) мальчиков. Причём мальчики ходят либо только в кино, либо только в театр, а девочки ходят и в кино, и в театр. Пусть количество мальчиков, посетивших театр, равно \(t.\) Поучаем, что $$ \begin{cases} t \leqslant \cfrac{3}{13} (d - m + t) \\ m - t \leqslant \cfrac{3}{8} (d - m + m - t) \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 10 t + 3 m \leqslant 3 d \\ 8 m - 5 t \leqslant 3 d \end{cases} $$ Отсюда $$19 m \leqslant 9d$$ $$\frac{d}{m} \geqslant \frac{19}{ 9}$$ $$\frac{d}{m} + 1 \geqslant \frac{19}{ 9} + 1$$ $$\frac{d + m}{m} \geqslant \frac{28}{ 9}$$ Так как функция \(f(x) = \cfrac{1}{x}\) монотонно убывает для всех положительных \(x,\) из последнего неравенства получаем, что $$\frac{m}{d + m} \leqslant \frac{9}{28}$$ $$-\frac{m}{d + m} \geqslant -\frac{9}{28}$$ $$1 - \frac{m}{d + m} \geqslant 1 - \frac{9}{28}$$ $$\frac{d}{d + m} \geqslant \frac{19}{28}$$ Отсюда, наименьшая доля девочек в группе будет \(\cfrac{19}{28}.\)

Ответ: а) да; б) \(9;\) в) \(\cfrac{19}{28}\).