Решение:

а)

$$2\sin (x+\frac{\pi }{3})-2\sqrt{3}{\sin }^{2}x=\sin x-2\sqrt{3}$$ $$2\sin x\cos \frac{\pi }{3}+2\cos x\sin \frac{\pi }{3}-2\sqrt{3}{\sin }^{2}x=\sin x-2\sqrt{3}$$ $$\sin x+\sqrt{3}\cos x-2\sqrt{3}{\sin }^{2}x=\sin x-2\sqrt{3}$$ $$\cos x-2(1-{\cos }^{2}x)=-2\Rightarrow \cos x\cdot (1+2\cos x)=0.$$

$\cos x=0,\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}.$

$\cos x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) Отбор корней

$$-3\pi ⩽\frac{\pi }{2}+\pi n⩽-\frac{3\pi }{2}$$ $$-6⩽1+2n⩽-3,\Rightarrow -\frac{7}{2}⩽n⩽-2$$ Т.е. $n=-3,-2.$ При $n=-3,x=-\frac{5\pi }{2}.$ При $n=-2,x=-\frac{3\pi }{2}.$

$$-3\pi ⩽\frac{2\pi }{3}+2\pi k⩽-\frac{3\pi }{2}$$ $$-18⩽4+12k⩽-9\Rightarrow -\frac{22}{12}⩽k⩽-\frac{13}{12}$$ Здесь нет решения. Наконец $$-3\pi ⩽-\frac{2\pi }{3}+2\pi k⩽-\frac{3\pi }{2}$$ $$-18⩽-4+12k⩽-9\Rightarrow -\frac{14}{12}⩽k⩽-\frac{5}{12}\Rightarrow k=-1$$ Значит при $k=-1,x=-\frac{8\pi }{3}$

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z};\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$ б) $-\frac{5\pi }{2},-\frac{8\pi }{3},-\frac{3\pi }{2}.$