Решение:

а) Пусть \( D \) и \( E\) — середины рёбер \( AC \) и \( BC \) соответственно. Тогда \( ED = \dfrac{1}{2} AB = \sqrt{3} \) как средняя линия равностороннего треугольника \( ABC \). Так как \( AM \bot (MBC) \), то \( \angle AMC = \angle AMB = 90^\circ\) и треугольники \( AMC \) и \( AMB \) прямоугольные. Кроме того эти треугольники равны, а также им равен треугольник \( BMC \). Теперь \( MD\) и \( ME\) — медианы, проведённые к гипотенузам, а, значит, \( MD = ME = \sqrt{3} \)

б) Рассмотрим пирамиду \( AMDE \). Обозначим через \( h_A \) и \( h_M \) — высоты, опущенные из точек \( A \) и \( M \) на плоскости \( (MDE) \) и \( (AED) \) соответственно. Тогда используя метод объемов, получаем, что \( h_A S_{MDE} = h_M S_{AED} \). Заметим, что \( AD = AE = DM = \sqrt{3} \), \( \angle ADE = 120^\circ \). А так как \( \sin 120^\circ = \sin 60^\circ \), то \( S_{ADE} = S_{MDE} \) и, значит, \( h_A = h_M\). Пусть \( O \) — центр вписанной окружности. Тогда \( h_M = MO \). В равностороннем треугольнике биссектрисы совпадают с медианами. Теперь, медиана \( BD = BA \sin 60^\circ = 3 \). Поэтому \( OD = \dfrac{1}{3} \cdot 3 = 1\). Наконец, \( MO = \sqrt{MD^2 - OD^2} = \sqrt{3 - 1} = \sqrt{2}\).

Ответ: б) \( \sqrt{2} \).