Задание 15. Вариант 3
- Просмотры: 21
- Изменено: 18 октября 2024
Решите неравенство $$ \log_x (x-2) \cdot \log_x (x+2) \leqslant 0.$$
Решение:
ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 2 > 0, \\ x + 2 > 0, \\ x > 0, \\ x \neq 1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x > 2. $$ На ОДЗ исходное неравенство можно переписать как $$ \frac{\ln (x + 2) \cdot \ln (x-2)}{\ln^2 x} \leqslant 0 $$ Так как на области определения \( \ln^2 x > 0 \), то наше неравенство эквивалентно $$ \ln (x+2 ) \cdot \ln (x-2) \leqslant 0. $$ Но при \( x > 2, \,\, \ln (x+2) > 0 \). Поэтому из \( \ln (x-2) \leqslant 0 \) следует, что \( x \leqslant 3 \).
С учётом ОДЗ окончательно получаем \( 2 < x \leqslant 3 \).
Ответ: \( ( 2; \, 3 ] \).