Задание 15. Вариант 4
- Просмотры: 23
- Изменено: 18 октября 2024
Решите неравенство $$ 4^{x+1} - 17 \cdot 2^x + 4 \leqslant 0 .$$
Решение:
Замена \( t = 2^x \). Тогда наше неравенство примет вид $$ 4t^2 - 17t + 4 \leqslant 0 $$
Найдём корни многочлена \( 4t^2 - 17t + 4 \): $$ D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225, \quad \Rightarrow \quad \sqrt{D} = 15, $$ $$ x_1 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{1}{4}, \qquad x_2 = \frac{17+15}{8} = 4 $$ Итак, $$ (4t-1)(t-4) \leqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{4} \leqslant t \leqslant 4, $$ $$ \frac{1}{4} \leqslant 2^x \leqslant 4 \quad \Rightarrow \quad -2 \leqslant x \leqslant 2. $$
Ответ: \( [ -2; \, 2 ] \)