Математика. ЕГЭ. Задание 15. Вариант 5

Математика. ЕГЭ

Задание 15. Вариант 5

Просмотры: 115

Изменено: 30 января 2025

Решите неравенство

\log_{\frac{25 - x^{2}}{16}} \frac{24 + 2 x - x^{2}}{14} > 1.

Решение:

ОДЗ: ${\begin{cases} 24 + 2 x - x^{2} > 0 \\ \frac{25 - x^{2}}{16} > 0 \\ \frac{25 - x^{2}}{16} \neq 1 \end{cases}$ То есть $x \in (- 4; - 3) \cup (- 3; 3) \cup (3; 5)$ .

$x \in (- 3; 3)$ . Тогда $\frac{25 - x^{2}}{16} > 1$ . $\log_{\frac{25 - x^{2}}{16}} \frac{24 + 2 x - x^{2}}{14} > \log_{\frac{25 - x^{2}}{16}} \frac{25 - x^{2}}{16} \Rightarrow$ $\frac{24 + 2 x - x^{2}}{14} > \frac{25 - x^{2}}{16} \Rightarrow 8 (24 + 2 x - x^{2}) > 7 (25 - x^{2}) \Rightarrow$ $x^{2} - 16 x - 17 < 0 \Rightarrow - 1 < x < 17$ С учётом ОДЗ имеем $x \in (- 1; 3)$ .

$x \in (- 4; - 3) \cup (3; 5)$ . Тогда $0 < \frac{25 - x^{2}}{16} < 1$ . $\frac{24 + 2 x - x^{2}}{14} < \frac{25 - x^{2}}{16} \Rightarrow x^{2} - 16 x - 17 > 0$ Т.е. $x \in (- \infty; - 1) \cup (17; + \infty)$ . С учётом ОДЗ получаем $x \in (- 4; - 3)$ .

Ответ: $(- 4; - 3) \cup (- 1; 3)$ .