Решение:

\(7x^2 + 6 > 0, \, x^2 + x + 1 > 0,\, \forall x \in \mathbb{R}.\) Правая часть неравенства имеет смысл при \( \cfrac{x}{x + 4} > 0\). Находим, при каких \(x\) это выполняется: $$\frac{x}{x + 4} + 6 > 0 \Leftrightarrow \frac{7x + 24}{x + 4} > 0 \, \Leftrightarrow (x + 4)(7x + 24) > 0$$ Т.е. при \(x < - 4\) или \(x > - \cfrac{24}{7}.\)

Неравенство в условии переписываем как $$\log_{12} \frac{7x^2 + 6}{x^2 + x + 1} \geqslant \log_{12} \frac{7x + 24}{x + 4} \Rightarrow \frac{7x^2 + 6}{x^2 + x + 1} - \frac{7x + 24}{x + 4} \geqslant 0$$ $$\frac{\left( 7x^2 + 6 \right) \left( x + 4 \right) - (7x + 24) \left( x^2 + x + 1 \right)}{\left( x^2 + x + 1 \right) (x + 4)} \geqslant 0$$ $$\frac{-3x^2 - 25x}{\left( x^2 + x + 1 \right) (x + 4)} \geqslant 0 \, \Leftrightarrow \, \frac{x (3x + 25)}{x + 4} \leqslant 0$$ Отсюда находим, что \(- \cfrac{25}{3} \geqslant x\) или \(-4 < x \leqslant 0.\) С учётом ограничений на область определения неравенства (\(x < -4\) или \(x > - \cfrac{24}{7}\)) получаем окончательный ответ: \(x \leqslant - \cfrac{25}{3}\) или \( - \cfrac{24}{7} < x \leqslant 0.\)

Ответ: \(\left( - \infty ; \, - \cfrac{25}{3} \right]; \, \left( - \cfrac{24}{7}; \, 0 \right]\)