Решение:

ОДЗ: \(2x + 22 > 0 \, \Rightarrow \, x > -11\) и \(x + 7 > 0 \, \Rightarrow \, x > -7.\) Т.е. \(x > - 7.\)

Первый случай: $$\begin{cases} x^4 - 81 \geqslant 0 \\ \log_3 (2x + 22) - \log_{\sqrt{3}} (x + 7) > 0 \\ x > -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x - 3)(x+3) \geqslant 0 \\ \log_3 (2x + 22) > \log_{3} (x + 7)^2 \\ x > -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} |x| \geqslant 3 \\ 2x + 22 > (x + 7)^2 \\ x > -7 \end{cases} $$ $$\begin{cases} |x| \geqslant 3 \\ x^2 + 12x + 27 < 0 \\ x > -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} |x| \geqslant 3 \\ (x + 3)(x + 9) < 0 \\ x > -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \left[ \begin{aligned} x & \leqslant -3 \\ x & \geqslant 3 \end{aligned} \right. \\ -9 < x < -3 \\ x > -7 \end{cases} \Rightarrow -7 < x < -3 $$

Второй случай: $$\begin{cases} x^4 - 81 \leqslant 0 \\ \log_3 (2x + 22) - \log_{\sqrt{3}} (x + 7) < 0 \\ x > -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x - 3)(x+3) \leqslant 0 \\ \log_3 (2x + 22) < \log_{3} (x + 7)^2 \\ x > -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -3 \leqslant x \leqslant 3 \\ 2x + 22 < (x + 7)^2 \\ x > -7 \end{cases} $$ $$\begin{cases} -3 \leqslant x \leqslant 3 \\ x^2 + 12 x + 27 > 0 \\ x > -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -3 \leqslant x \leqslant 3 \\ (x + 3) (x + 9) > 0 \\ x > -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -3 \leqslant x \leqslant 3 \\ \left[ \begin{align} x < -9 \\ x > -3 \end{align} \right. \\ x > -7 \end{cases} \Rightarrow -3 < x \leqslant 3$$

Ответ: \((-7; -3) , \, (-3; 3]\)