Задание 16. Математика. ЕГЭ 2025. Досрочный экзамен. Резерв. 17.04.2025-1

Просмотры: 85
Изменено: 26 апреля 2025

В июле 2025 года планируется взять кредит на \(5\) лет в размере \(9\) млн рублей. Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
  • в июле 2026, 2027 и 2028 годов долг остаётся равным \(9\) млн рублей;
  • выплаты в 2029 и 2030 годах равны;
  • к июлю 2030 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат по кредиту.

Решение:

В январе 2026 году долг составит \( 9 \cdot 1.25\) млн. рублей. Чтобы в июле этого года долг уменьшился до \(9\) млн. рублей, необходимо произвести выплату в \(9 \cdot 0.25\) млн. рублей. То же самое нужно будет сделать в 2027 и 2028. Всего за эти три года нужно выплатить \(3 \cdot 9 \cdot 0.25 = 6.75\) млн. рублей. Пусть в 2029 и 2030 годах выплачивается \(S\) млн. рублей. Тогда из условия задачи получаем следующее соотношение: $$(9 \cdot 1.25 - S) \cdot 1.25 = S.$$ Отсюда \(2.25 S = 9 \cdot 1.25^2\) и $$S = \frac{9 \cdot 1.25^2}{2.25} = \frac{9 \cdot (5^3 \cdot 0.1^2)^2}{(3 \cdot 5 \cdot 0.1)^2} = \frac{9 \cdot 5^6 \cdot 0.1^4}{3^2 \cdot 5^2 \cdot 0.1^2} = 5^4 \cdot 0.1^2 = 6.25.$$ Сумму в \(S = 6.25\) млн. рублей выплачивают дважды. Общая сумма выплат составит $$6.75 + 2 \cdot 6.25 = 19.25$$ млн. рублей.

Ответ: \(19.25\) млн. рублей