Решение:

а) Из условия задачи получаем, что \(BE = \cfrac{1}{4} BC,\) \(EC = \cfrac{3}{4} BC,\) \(BR = \cfrac{2}{3} BO,\) \(RO = BO - \cfrac{2}{3}BO = \cfrac{1}{3} BO.\) Пусть \(\cfrac{CM}{AM} = k.\) Тогда получаем, что \(CM = k \cdot AM, \) \(AC = 2 OC = (k + 1) AM.\) Отсюда $$AM = \frac{2 OC}{k + 1}, \,\, MC = 2OC - AM = \frac{2k \cdot OC}{k + 1}.$$ Далее, \(\triangle BRE \sim \triangle BCO\) (они прямоугольные с общим острым углом \(B\)), \(\triangle BRE \sim \triangle MRO\) (они прямоугольные и \(\angle BRE = \angle MRO\) как вертикальные). Обозначим \(\angle BCO\) через \(\gamma.\) Тогда $$\sin \gamma = \frac{BE}{BR} = \frac{3BC}{4 \cdot 2 BO} = \frac{BO}{BC} \, \Rightarrow \, \frac{BO^2}{BC^2} = \sin^2 \gamma = \frac{3}{8} \, \Rightarrow \, \cos^2 \gamma = \frac{5}{8}.$$ $$\cos \gamma = \frac{EC}{MC} = \frac{3 BC}{4 MC} = \frac{3 (k+1) BC}{4 \cdot 2k OC} = \frac{OC}{BC} \, \Rightarrow \, \frac{OC^2}{BC^2} = \frac{3(k+1)}{8k} = \frac{5}{8}$$ То есть \(3(k+1) = 5k.\) Значит \(k = \cfrac{3}{2},\) ч.т.д.

б) Так как \(\cfrac{BO^2}{BC^2} = \cfrac{3}{8},\) то \(8BO^2 = 3BC^2.\) И \(MO = CO - AM = CO - \cfrac{4}{5} CM = \cfrac{1}{5} CO. \) Теперь $$MO^2 + OR^2 = MR^2 = 15 \, \Rightarrow \, \frac{OC^2}{25} + \frac{BO^2}{9} = 15$$ $$9 (BC^2 - BO^2) + 25BO^2 = 15^3 \, \Rightarrow \, 9BC^2 + 16BO^2 = 15^3 \, \Rightarrow \,15BC^2 = 15^3.$$ Отсюда \(BC = 15,\) \(P_{ABCD} = 4 BC = 60.\)

Ответ: б) \(60\)