Математика. ЕГЭ. Задание 17. Математика. ЕГЭ 2025. Ященко-8

Математика. ЕГЭ

Задание 17. Математика. ЕГЭ 2025. Ященко-8

Просмотры: 54

Изменено: 12 марта 2025

В треугольнике $A B C$ точки $N$ и $P$ — середины сторон $A B$ и $B C$ соответственно. Отрезок $N P$ касается окружности, вписанной в треугольник $A B C .$

а) Докажите, что периметр треугольника $A B C$ равен $4 A C .$
б) Найдите площадь треугольника $A B C,$ если его периметр равен $24,$ $∠ B A C = 60^{\circ} .$

Решение:

а) $N P$ — средняя линия, значит $2 N P = A C .$ По условию четырёхугольник $A N P C$ описанный, значит $A N + P C = N P + A C .$ Отсюда $2 A N + 2 P C = A B + B C = 3 A C .$ Значит, $P_{A B C} = A B + B C + A C = 3 A C + A C = 4 A C .$

б) $P_{A B C} = 24 \Rightarrow A C = 6, A B + B C = 18, \Rightarrow B C = 18 - A B .$ По теореме косинусов $(18 - A B)^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot \cos 60^{\circ}$ $18^{2} - 36 A B + A B^{2} = A B^{2} + 6^{2} - 6 A B \Rightarrow 30 A B = 12 \cdot 24 \Rightarrow A B = \frac{48}{5}$ Значит $S_{A B C} = \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot \sin 60^{\circ} = \frac{72 \sqrt{3}}{5} .$

Ответ: $\frac{72 \sqrt{3}}{5}$