Решение:

а) \(AP = AF\) как касательные к окружности, проведённые из одной точки. Тогда \(\Delta APF\) равнобедренный, значит \(AG \perp PF\) (\(G\) — середина \(PF\)). Далее, \(OP = OF\) как радиусы. Значит \(\Delta OPF\) равнобедренный, поэтому \(OG \perp PF\). Отсюда \(O\), \(G\) и \(A\) лежат на одной прямой, причём \(AO \perp PF\) и \(AO \perp BD\), значит \(PF \parallel BD.\)

б) \(\Delta KFP\) прямоугольный, поэтому \(KF = \sqrt{KP^2 + PF^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13.\) Далее, \(\angle PFK = \angle BOF\) как накрест лежащие при параллельных прямых. Отсюда получаем, что \(\Delta FPK \sim \Delta OFB.\) Тогда $$\frac{OB}{FK} = \frac{OF}{FP} \Rightarrow \frac{x}{13} = \frac{6.5}{12}.$$ Значит, $$BD = 2 \cdot OB = \frac{2 \cdot 13 \cdot 6.5}{12} = \frac{169}{12}.$$

Ответ: \(\cfrac{169}{12}\)