Решение:

а) Прямая \(DK\) лежит в плоскости треугольника \(SBD,\) на ней лежит медиана \(DK\) этого треугольника. Плоскость треугольника \(SBD\) пересекает плоскость треугольника \(SAC\) по прямой \(SO,\) на которой лежит высота \(SO\) пирамиды \(SABCD.\) Отрезок \(SO\) также является медианой треугольника \(SBD.\) Значит \(N = DK \cap (SAC) = DK \cap SO\) и \(SO : NO = 2 : 1.\) Пусть прямая \(a\) пересекает стороны \(AS\) и \(AC\) треугольника \(SAC\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Рассматривая треугольник \(SOC,\) по теореме Фалеса получаем, что \(OF : FC = 1 : 2.\) Или \(OF = \cfrac{1}{3} OC\) и \(FC = \cfrac{2}{3} OC.\) Так как \(ABCD\) — квадрат, то \(AO = OC,\) \(AF = AO + \cfrac{1}{3} AO = \cfrac{4}{3} AO = \cfrac{2}{3} AC,\) \(FC = AC - AF = \cfrac{1}{3} AC.\) Т.е. \(CF : AF = 1 : 2.\) Рассматривая теперь треугольник \(SAC\) по теореме Фалеса получаем, что \(SE : AE = 1 : 2.\) Ч.т.д.

б) (Решение похожей задачи методом координат смотри здесь.)

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми \(DK\) и \(SC\) будем искать как расстояние между параллельными плоскостями, содержащими эти прямые.

Так как \(EF \parallel SC,\) то плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые \(EF\) и \(DK\) параллельна прямой \(SC.\) Эта плоскость закрашена на чертеже фиолетовым цветом. Проведём из вершины \(S\) пирамиды прямую, параллельную \(DK.\) И пусть она пересечёт прямую BD в точке \(G.\) Плоскость \(SGC\) тогда содержит прямую \(SC\) и параллельна прямой \(DK.\) А так как две пересекающиеся прямые \(SG\) и \(SC\) плоскости \(SGC\) параллельны двум прямым \(DK\) и \(EF\) плоскости \(DEK\) соответственно, то \((SGC) \parallel (KED).\) Расстояние между этими плоскостями и будет искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми \(DK\) и \(SC.\)

В прямоугольном треугольнике \(COG\) с прямым углом \(O\) опустим высоту \(OL\) на гипотенузу \(CG.\) Так как \(SO\) перпендикулярна плоскости \((ABC)\) основания пирамиды \(SABCD\) в которой лежит треугольник \(COG,\) то \(OL\) является проекцией прямой \(SL\) на эту плоскость и по теореме о трёх перпендикулярах \(SL \perp CG.\) Но тогда \(GC \perp (SOL),\) и поэтому \((SGC) \perp (SOL).\) По построению \((SGC) \parallel (KED),\) значит \((KED) \perp (SOL).\) Чтобы найти расстояние между плоскостями \((SGC)\) и \((KED)\) нужно найти длину перпендикуляра, соединяющего линии пересечений этих плоскостей с перпендикулярной им плоскостью \((SOL).\) Мы уже знаем, что \((SOL) \cap (SGC) = SL.\) Далее, точка \(N\) является общей точкой плоскостей \((SOL)\) и \((KED).\) Опустим из \(N\) перпендикуляр \(NH\) на \(SL.\) Его длина и будет являться расстоянием между плоскостями \((KED)\) и \((SGC),\) а значит и искомым расстоянием между прямыми \(DK\) и \(SC.\)

Найдём \(NH.\) Так как стороны квадрата, лежащего в основании пирамиды, равны \(2,\) то \(AC = BD = 2 \sqrt{2},\) \(OC = OB = OD = OA = \sqrt{2}.\) В треугольнике \(SBG\) отрезок \(KD \parallel SG\) по построению. А так как \(K\) — это середина \(SB,\) то \(DK\) является средней линией в этом треугольнике, а значит, \(BD = DG = 2 \sqrt{2}.\) Получаем, что \(OG = OD + DG = 3 \sqrt{2}.\) Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник \(COG\) с прямым углом \(O.\) По теореме Пифагора $$CG = \sqrt{OG^2 + OC^2} = \sqrt{2 + 18} = 2 \sqrt{5}$$ Высота \(OL,\) опущенная на гипотенузу \(CG\) равна $$OL = \frac{OC \cdot OG}{CG} = \frac{\sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$$ Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник \(SOL.\) По теореме Пифагора $$SL = \sqrt{SO^2 + OL^2} = \sqrt{9 + \frac{9}{5}} = \frac{3 \sqrt{6}}{\sqrt{5}}$$ Наконец, по доказанному в предыдущем пункте получаем, что \(SN : ON = 2 : 1\) и \(SN = 2.\)

\(\triangle SOL \sim \triangle SHN\) так как они прямоугольные и имеют общий острый угол \(S.\) Значит $$\frac{NH}{OL} = \frac{SN}{SL} \, \Rightarrow \, NH = \frac{OL \cdot SN}{SL}$$ $$NH = \frac{3 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot 3 \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

Ответ: б) \(\cfrac{\sqrt{6}}{3}.\)