Решение:

а) Прямая \(DK\) лежит в плоскости треугольника \(SBD,\) на ней лежит медиана \(DK\) этого треугольника. Плоскость треугольника \(SBD\) пересекает плоскость треугольника \(SAC\) по прямой \(SO,\) на которой лежит высота \(SO\) пирамиды \(SABCD.\) Отрезок \(SO\) также является медианой треугольника \(SBD.\) Значит \(N = DK \cap (SAC) = DK \cap SO\) и \(SO : NO = 2 : 1.\) Пусть прямая \(a\) пересекает стороны \(AS\) и \(AC\) треугольника \(SAC\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Рассматривая треугольник \(SOC,\) по теореме Фалеса получаем, что \(OF : FC = 1 : 2.\) Или \(OF = \cfrac{1}{3} OC\) и \(FC = \cfrac{2}{3} OC.\) Так как \(ABCD\) — квадрат, то \(AO = OC,\) \(AF = AO + \cfrac{1}{3} AO = \cfrac{4}{3} AO = \cfrac{2}{3} AC,\) \(FC = AC - AF = \cfrac{1}{3} AC.\) Т.е. \(CF : AF = 1 : 2.\) Рассматривая теперь треугольник \(SAC\) по теореме Фалеса получаем, что \(SE : AE = 1 : 2.\) Ч.т.д.

а) Метод координат. (Решение похожей задачи другим методом смотри здесь.)

Введём декартову систему координат, поместив начало в точку \(O\) и направив ось абсцисс вдоль \(OD,\) ось ординат — вдоль \(OC,\) ось аппликат — вдоль \(OS.\) Так как длина стороны квадрата, лежащего в основании пирамиды, равна \(2 \sqrt{3},\) то его диагонали \(AC = BD = 2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{6}.\) Далее \(AO = BO = CO = DO = \sqrt{6}.\) По доказанному выше \(SN : ON = 2 : 1,\) откуда \(ON = 3.\)

Рассмотрим плоскость \((DEK),\) проходящую через пересекающиеся прямые \(DK\) и \(EF.\) Так как \(EF \parallel SC,\) то \((DEK) \parallel SC.\) Расстояние между скрещивающимися прямыми \(DK\) и \(SC\) тогда равно расстоянию от прямой \(SC\) до плоскости \((DEK).\) Найдём сначала уравнение этой плоскости. Она проходит через точки $$D \left( \sqrt{6}; \, 0; \, 0 \right) \quad F \left( 0; \, \cfrac{\sqrt{6}}{3}; \, 0 \right) \quad N \left( 0; \, 0; \, 3 \right).$$ Так как все эти три точки лежат на координатных осях, то уравнение плоскости можно сразу записать, воспользовавшись т.н. «уравнением в отрезках»: $$\frac{x}{\sqrt{6}} + \frac{3y}{\sqrt{6}} + \frac{z}{3} = 1$$ Умножая это равенство на \(3\sqrt{6},\) получим искомое уравнение плоскости \((DEK):\) $$3x + 9y + \sqrt{6} x - 3 \sqrt{6} = 0$$ Чтобы посчитать расстояние от прямой \(SC\) до этой плоскости, нужно взять любую точку на этой прямой и посчитать расстояние от неё до плоскости. В качестве такой точки возьмём точку $$C \left( 0; \, \sqrt{6} ; \, 0 \right)$$ Получаем $$\rho( (DEK), \, C) = \frac{\left| 3 \cdot 0 + 9 \cdot \sqrt{6} + 6 \cdot 0 - 3 \cdot \sqrt{6} \right|}{\sqrt{3^2 + 9^2 + \left( \sqrt{6} \right)^2}} = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{96}} = \frac{3}{2}.$$

Ответ: б) \(\cfrac{3}{2}.\)