Задание 16. Математика. ЕГЭ. Статград. 23.04.2025-1

Пусть в банке планируется взять в кредит \(X\) рублей. Каждый год долг будет увеличиваться в $$p = 1 + \frac{r}{100}$$ раз. Если каждый год выплачивать по \(17~280\) рублей, то из условия задачи получим, что $$(((X \cdot p - 17~280) \cdot p - 17~280) \cdot p - 17~280) \cdot p - 17~280 = 0.$$ Отсюда легко получить, что $$X = \frac{17~280}{p} + \frac{17~280}{p^2} + \frac{17~280}{p^3} + \frac{17~280}{p^4}$$ С другой стороны, если выплачивать ежегодно по \(29~280\) рублей, то аналогично получаем, что $$X = \frac{29~280}{p} + \frac{29~280}{p^2}$$ Т.е. $$\frac{17~280}{p} + \frac{17~280}{p^2} + \frac{17~280}{p^3} + \frac{17~280}{p^4} = \frac{29~280}{p} + \frac{29~280}{p^2}$$ $$\frac{12~000}{p} \cdot \left( 1 + \frac{1}{p}\right) = \frac{17~280}{p^3} \cdot \left( 1 + \frac{1}{p}\right)$$ $$p^2 = \frac{17280}{12000} = \frac{108}{75} = \frac{36}{25}$$ $$p = 1 + \frac{r}{100} = \frac{6}{5} = 1 + \frac{1}{5}$$ Окончательно \(r = 100 : 5 = 20.\)

Ответ: \(20\)