Математика. ЕГЭ

Новое на этой позиции с 2027 года. Текстовая задача с кратким ответом, в том числе из области личных и семейных финансов: кредиты, вклады, проценты, равные платежи. Раньше финансовая задача стояла во второй части (№ 16, 2 балла, развёрнутое решение) — теперь она упрощена, перенесена в первую часть и оценивается в 1 балл. Повышенный уровень, норматив — 10 минут, самое «дорогое» по времени задание первой части.

Тригонометрическое, показательное, логарифмическое или иррациональное уравнение (возможно — система). В пункте «а» нужно решить уравнение, в пункте «б» — указать корни, принадлежащие заданному отрезку, с помощью единичной окружности или неравенств. Требуется полное обоснованное решение. Повышенный уровень, 2 балла. Раньше — № 13.

Дан многогранник или тело вращения. В пункте «а» нужно доказать геометрическое утверждение (например, что прямая перпендикулярна плоскости, или что сечение имеет заданную форму), в пункте «б» — найти угол, расстояние или отношение объёмов. Требуется построить чертёж, обосновать каждый шаг, применить теоремы стереометрии. Повышенный уровень, 3 балла, норматив — 20 минут. Раньше — № 14.

Логарифмическое, показательное или дробно-рациональное неравенство, либо система неравенств. Нужно применить метод интервалов, метод рационализации, учесть область определения и ОДЗ. Классическая ошибка — забыть про ограничение на основание логарифма или знаменатель дроби. Повышенный уровень, 2 балла, норматив — 10 минут. Раньше — № 15.

Новое с 2027 года. Дана прикладная ситуация из физики, экономики или реальной жизни — нужно перевести её на язык математики, составить функцию, уравнение или неравенство и исследовать модель средствами алгебры и начал анализа. В демоверсии — задача о генераторе с ЭДС и внутренним сопротивлением: найти тепловую мощность на нагрузке. Второй пример — амплитуда качки корабля на волнах, нужно найти период волны, при котором амплитуда максимальна. Ключевое отличие от прежней задачи на производную: функция не дана в готовом виде — её нужно составить самостоятельно, а в конце интерпретировать результат в терминах исходной ситуации. Повышенный уровень, 2 балла, норматив — 20 минут.

Дана плоская конфигурация: треугольник с окружностями, четырёхугольник, комбинация прямых и окружностей. В пункте «а» — доказать утверждение (подобие, вписанность, равенство отрезков), в пункте «б» — найти длину, угол или отношение. Требуется знание теорем о вписанных и описанных окружностях, свойств касательных и хорд, гомотетии. Повышенный уровень, 3 балла, норматив — 35 минут. До 2027 года - задание № 17

Уравнение, неравенство или система с параметром \(a.\) Нужно найти все значения параметра, при которых выполняется условие: ровно столько-то решений, решение лежит в заданном множестве, система имеет единственное решение и т. д. Решается аналитически (разбор случаев), графически (семейство кривых на координатной плоскости) или комбинацией методов. Высокий уровень, 4 балла, норматив — 35 минут. До 2027 года - задание № 18

Самая сложная задача экзамена. Работает с целыми числами: делимость, НОД и НОК, простые и составные числа, разложение на множители, оценки и доказательства. Обычно состоит из пунктов «а» (привести пример), «б» (доказать утверждение) и «в» (найти ответ в общем виде или наибольшее/наименьшее значение). Требует математической культуры, перебора и построения оценок. Высокий уровень, 4 балла, норматив — 40 минут. До 2027 года - задание № 19