Найдите все значения \(p,\) при каждом из которых уравнение $$\left( x^2 - 6x + 10 \right)^2 + \left( x^2 - 2p^2 + 7p \right)^2 = \sin \left( p \pi + \frac{\pi}{2} x \right)$$ имеет хотя бы один корень.

Найдите все значения \(a,\) при каждом из которых уравнение $$\sqrt{4x^4 + 3x^2 (6x+5) - a (2x^2 -a)} = 2x^2 + 5x - a$$ имеет ровно три различных корня.

Найдите все значения \(a,\) при каждом из которых уравнение $$\sqrt{9x^4 + 4x^2 (5x+2) - a (2x^2 -a)} = 3x^2 + 4x - a$$ имеет ровно три различных корня.

Найдите все значения \(a,\) при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} (x + ay - 13) (x + ay - 13a) = 0, \\ x^2 + y^2 = 144 \end{cases} $$ имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения \(a,\) при каждом из которых уравнение $$9^x - 3^x \cdot \left( 4^a + 4 \right) = 3^x \cdot \left( 16 - 2^a \right) + \left( 4^a + 4 \right) \cdot \left( 2^a - 16 \right)$$ имеет единственное решение.

Найдите все значения \(a,\) при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} (x-y)^2 - (3a-8)^2 + 2(ax - ay + xy) = a^2 - 16 \\ | xy | = a^2 \end{cases} $$ имеет не менее семи различных решений.