Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более \(\cfrac{3}{13}\) от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более \(\cfrac{3}{8}\) от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

• а) Могло ли быть в группе \(9\) мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было \(20\) учащихся?
• б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было \(20\) учащихся?
• в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Юра и Оля играют в числа. Юра записывает различные натуральные числа, которые оканчиваются цифрой \(6,\) а Оля — которые оканчиваются цифрой \(8.\) Через некоторое время оказалось, что всего записано \(50\) чисел, а их сумма равна \(8282.\)

• а) Могло ли оказаться, что чисел, оканчивающихся цифрой \(6,\) и чисел, оканчивающихся цифрой \(8,\) записано поровну?
• б) Могло ли оказаться, что чисел, оканчивающихся цифрой \(6,\) записано ровно \(49?\)
• в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся цифрой \(8,\) могло быть записано?

Из натурального числа вычли сумму его цифр и получили натуральное число \(A\).

а) Может ли \(A\) равняться \(99\)?

б) Может ли \(A\) равняться \(1980\)?

в) Найдите все натуральные числа, кратные \(3\), для которых \(A = 22~158\).

Имеется \( 8 \) карточек. На них записывают по одному каждое из чисел \( -1 \), \( 2 \), \( 4 \), \( -6 \), \( 7 \), \( -8 \), \( -10 \), \( 12 \). Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел \( -1 \), \( 2 \), \( 4 \), \( -6 \), \( 7 \), \( -8 \), \( -10 \), \( 12 \). После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться \( 0\)?

б) Может ли в результате получиться \( 1 \)?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно \( 792 \) и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?

а) Приведите пример такого натурального числа \( n \), что числа \( n^2 \) и \( (n+16)^2 \) дают одинаковый остаток при делении на \( 200 \).

б) Сколько существует трёхзначных чисел \( n \) с указанным в пункте a свойством?

в) Сколько существует двузначных чисел \( m \), для каждого из которых существует ровно \( 36 \) трёхзначных чисел \( n \), таких, что \( n^2 \) и \( (n+m)^2 \) дают одинаковый остаток при делении на \( 200 \)?