На ребре \(AA_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) взята точка \(E\) так, что \(A_1E : EA = 6 : 1,\) а на ребре \(BB_1\) — точка \(F\) так, что \(B_1F : FB = 3 : 4.\) Известно, что \(AB = 7 \sqrt{2},\) \(AD = 12,\) \(AA_1 = 14.\)

• а) Докажите, что плоскость \(EFD_1\) делит ребро \(B_1C_1\) на два равных отрезка.
• б) Найдите угол между плоскостью \(EFD_1\) и плоскостью \(AA_1B_1 .\)

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) через вершины \(A_1,\) \(B_1\) и середину ребра \(BC\) проведена плоскость \(\alpha .\)

• а) Докажите, что сечением призмы плоскостью \(\alpha \) будет трапеция.
• б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью \(\alpha ,\) если боковое ребро призмы равно \(13,\) а сторона основания равна \(12.\)

Точки \(A,\) \(B\) и \(C\) лежат на окружности основания конуса с вершиной \(S.\) Точка \(M\) — середина хорды \(BC,\) \(AC\) — диаметр.

• a) Докажите, что угол между прямой \(SM\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между прямой \(AB\) и плоскостью \(SBC.\)
• б) Найдите высоту конуса, если угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(SBC\) равен \(60^\circ ,\) \(AC = 10,\) \(BC = 6.\)

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) точка \(K\) — середина ребра \(A_1B_1.\)

• а) Докажите, что сечение плоскостью \(AKC\) является равнобедренной трапецией.
• б) Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости сечения, если все рёбра призмы равны \(6.\)

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точка \(K\) — середина ребра \(B_1C_1 .\) Плоскость \(\alpha\) проходит черех точки \(B, \, K\) и \(D.\)

• а) Докажите, что сечение куба плоскостью \(\alpha\) является равнобедренной трапецией.
• б) Найдите расстояние от точки \(C_1\) до плоскости \(\alpha ,\) если ребро куба равно \(3.\)

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B,\) а на окружности другого основания — точки \(B_1\) и \(C_1,\) причём \(BB_1\) — образующая цилиндра, а отрезок \(AC_1\) пересекает ось цилиндра.

• а) Докажите, что угол \(ABC_1\) прямой.
• б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если \(AB = 24,\) \(BB_1 = 11,\) \(B_1C_1 = 32.\)