Задание 13. Вариант 4

а) Замена \( \sin x = t \). Тогда наше уравнение примет вид \( 6t^2 - 5t - 4 = 0 \). $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 121 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{D} = 11 $$ $$ t_1 = \frac{5 - 11}{12} = - \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{5+11}{12} = \frac{4}{3} $$

Обратная замена: $$ \sin x = - \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \,\, n \in \mathbb{Z} $$ $$ \sin x = \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad \mbox{нет решений.} $$

б) \(n = 2k, \,\, x = - \dfrac{\pi}{6} + 2 \pi k\): $$ - \frac{7 \pi}{2} \leqslant - \frac{\pi}{6} + 2 \pi k \leqslant - \frac{3 \pi }{2} $$ $$ 9 \leqslant 1 - 12 k \leqslant 21 \quad \Rightarrow \quad 8 \leqslant - 12 k \leqslant 20 \quad \Rightarrow $$ $$ k = -1 \quad \Rightarrow \quad n = -2 \quad \Rightarrow \quad x = - \frac{13 \pi}{6} $$

\( n = 2k + 1, \,\, x = \dfrac{7 \pi}{6} + 2 \pi k \): $$ - \frac{7 \pi}{2} \leqslant \frac{7 \pi}{6} + 2 \pi k \leqslant - \frac{3 \pi }{2} $$ $$ 9 \leqslant -7 - 12 k \leqslant 21 \quad \Rightarrow \quad 16 \leqslant -12 k \leqslant 28 $$ $$ k = -2 \quad \Rightarrow \quad n = -3 \quad \Rightarrow \quad x = - \frac{17 \pi}{6} $$

Ответ: а) \( (-1)^{n+1} \dfrac{\pi}{6} + \pi n, \,\, n \in \mathbb{Z} \); б) \( - \dfrac{13 \pi }{6}; \,\, -\dfrac{17 \pi}{6}\).