Задание 13. Математика. ЕГЭ 2025. Досрочный экзамен. 28.03.2025-1

а) $$2 \sin^2 x + \sqrt{2} \sin( 2 \pi + x) - \sqrt{3} \sin 2x = \sqrt{6} \cos x$$ $$2 \sin^2 x + \sqrt{2} \sin x = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + \sqrt{6} \cos x$$ $$\sqrt{2} \sin x (\sqrt{2} \sin x + 1) = \sqrt{6} \cos x (\sqrt{2} \sin x + 1)$$ $$\sqrt{2} (\sin x - \sqrt{3} \cos x) (\sqrt{2} \sin x + 1) = 0$$ Значит, либо \(\sin x = \sqrt{3} \cos x,\) либо \(\sin x = - \cfrac{1}{\sqrt{2}}.\)

Первое уравнение: \(\sin x = \sqrt{3} \cos x.\) Если \(\cos x = 0,\) то из этого уравнения сразу следует, что \(\sin x = 0.\) Но этого не может быть, так как \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1.\) Поэтому, поделив это уравнение на \(\cos x,\) получаем, что \(\tan x = \sqrt{3},\) откуда \(x = \cfrac{\pi}{3} + \pi n , \, n \in \mathbb{Z}.\)

Из второго уравнения \(\sin x = - \cfrac{1}{\sqrt{2}}\) сразу получаем, что \(x = - \cfrac{\pi}{4} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\) или \(x = - \cfrac{3 \pi}{4} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней $$\frac{3 \pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{3} + \pi n \leqslant 3 \pi$$ $$9 \leqslant 2 + 6n \leqslant 18 \, \Rightarrow \, \cfrac{7}{6} \leqslant n \leqslant \frac{16}{6}$$ Т.е. \(n = 2\) и \(x = \cfrac{7 \pi}{3}.\) $$\frac{3 \pi}{2} \leqslant - \frac{\pi}{4} + 2 \pi k \leqslant 3 \pi$$ $$6 \leqslant -1 + 8k \leqslant 12 \, \Rightarrow \, \frac{7}{8} \leqslant k \leqslant \frac{13}{8}$$ Отсюда \(k = 1\) и \(x = \cfrac{7 \pi}{4}.\) $$\frac{3 \pi}{2} \leqslant - \frac{3\pi}{4} + 2 \pi m \leqslant 3 \pi$$ $$6 \leqslant -3 + 8k \leqslant 12 \, \Rightarrow \, \frac{9}{8} \leqslant k \leqslant \frac{15}{8}$$ Это неравенство не имеет решение в целых числах.

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{3} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(-\cfrac{\pi}{4} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(- \cfrac{3\pi}{4} + \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{7 \pi}{4}; \, \cfrac{7 \pi}{3} .\)