Задание 13. Математика. ЕГЭ 2025. Досрочный экзамен. 28.03.2025-2

а) $$\sqrt{3} \sin 2x + 3 \cos 2x = 0 \, \Rightarrow \, \sqrt{3} \sin 2x = - 3 \cos 2x.$$ Из этого уравнения и основного тригонометрического тождества следует, что \(\cos 2x \neq 0.\) (Действительно, если \(\cos 2x = 0,\) то тогда из последнего уравнения следует сразу, что \(\sin 2x = 0.\) Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству.) Значит, мы можем поделить и левую и правую части этого уравнения на \(\sqrt{3} \cos 2x.\) Получаем уравнение \(\tan 2x = -\sqrt{3},\) отсюда \( 2x = - \cfrac{\pi}{3} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z},\) или \( x = - \cfrac{\pi}{6} + \cfrac{\pi n}{2}, \, n \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней$$\pi \leqslant - \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} \leqslant \frac{5 \pi}{2}$$ $$1 \leqslant - \frac{1}{6} + \frac{n}{2} \leqslant \frac{5}{2}$$ $$\frac{7}{6} \leqslant \frac{n}{2} \leqslant \frac{16}{6}$$ $$\frac{7}{3} \leqslant n \leqslant \frac{16}{3}$$ Целыми решениями этого неравенства являются \(n = 3, 4, 5.\) Подставляя эти числа в общую формулу решения, находим, что \(x = \cfrac{4 \pi}{3}, \, \cfrac{11 \pi}{6}, \, \cfrac{7 \pi}{3}.\)

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{6} + \cfrac{\pi n}{2}, \, n \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{4 \pi}{3}, \, \cfrac{11 \pi}{6}, \, \cfrac{7 \pi}{3}.\)