Задание 13. Математика. ЕГЭ 2025. Досрочный экзамен. Резерв. 17.04.2025-1

а) $$\log_5 ( \cos x + \sin 2x + 25 ) = 2$$ $$\cos x + \sin 2x + 25 = 25 \, \Rightarrow \, \cos x + 2 \sin x \cos x = 0 \, \Rightarrow$$ $$\cos x (1 + 2 \sin x ) = 0$$ Т.о., получаем два уравнения. Первое: \(\cos x = 0\) \( \Rightarrow x = \cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\) Второе: \(1 + 2 \sin x = 0\) \( \Rightarrow \sin x = - \cfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow x = - \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}\) или \(x = - \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. Первый случай: $$2 \pi \leqslant \frac{\pi}{2} + \pi n \leqslant \frac{7 \pi}{2}$$ $$4 \leqslant 1 + 2n \leqslant 7 \, \Rightarrow \, 3 \leqslant 2n \leqslant 6$$ $$\frac{3}{2} \leqslant n \leqslant 3$$ $$n = 2, \, x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi = \frac{5 \pi}{2}$$ $$n = 3, \, x = \frac{\pi}{2} + 3 \pi = \frac{3 \pi}{2}$$ Второй случай: $$2 \pi \leqslant - \frac{\pi}{6} + 2 \pi m \leqslant \frac{7 \pi}{2}$$ $$12 \leqslant -1 + 12 n \leqslant 21 \, \Rightarrow \, 13 \leqslant 12 n \leqslant 21$$ Это неравенство не имеет решений в целых числах.

Третий случай: $$2 \pi \leqslant - \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k \leqslant \frac{7 \pi}{2}$$ $$12 \leqslant -5 + 12 k \leqslant 21 \, \Rightarrow \, 17 \leqslant 12 n \leqslant 26$$ $$n = 2, \, x = - \frac{5 \pi}{6} + 4 \pi = \frac{19 \pi}{6}$$

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z},\) \(-\cfrac{\pi}{6} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z},\) \(-\cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{5 \pi}{2}, \, \cfrac{19 \pi}{6}, \, \cfrac{7 \pi}{2}.\)