Задание 13. Математика. ЕГЭ 2025. Основная волна. 26.05.2025

а) $$2 \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + 2 \cos^2 x = 2 + \sqrt{6} \cos x$$ $$2 \sqrt{2} \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) + 2 \cos^2 x = 2 + \sqrt{6} \cos x$$ $$\sqrt{2} \sin x + \sqrt{6} \cos x + 2 (1 - \sin^2 x) = 2 + \sqrt{6} \cos x$$ $$\sqrt{2} \sin x - 2 \sin^2 x = 0$$ Значит либо \(\sin x = 0 \, \Rightarrow\) \(x = \pi n , \, n \in \mathbb{Z},\) либо \(\sin x = \cfrac{\sqrt{2}}{2} \, \Rightarrow\) \(x = \cfrac{\pi}{4} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z},\) \(x = \cfrac{3 \pi}{4} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}.\)

б) I $$-3 \pi \leqslant \pi n \leqslant -\frac{3 \pi}{2}$$ $$-3 \leqslant n \leqslant - \frac{3}{2} \, \Rightarrow \, n = -3, \, -2$$ $$x = -3 \pi, \, -2 \pi$$ II $$-3 \pi \leqslant \frac{\pi}{4} + 2 \pi k \leqslant -\frac{3 \pi}{2}$$ $$-12 \leqslant 1 + 8k \leqslant - 6 \, \Rightarrow \, -13 \leqslant 8k \leqslant -7$$ $$k = -1 \, \Rightarrow x = -\frac{7 \pi}{4}$$ III $$-3 \pi \leqslant \frac{3\pi}{4} + 2 \pi k \leqslant -\frac{3 \pi}{2}$$ $$-12 \leqslant 3 + 8k \leqslant - 6 \, \Rightarrow \, -15 \leqslant 8k \leqslant -9$$ Нет решений в целых числах.

Ответ: а) \(\pi n , \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{\pi}{4} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{3 \pi}{4} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(-3 \pi; \, -2 \pi; \, - \cfrac{7 \pi}{4} \)