Задание 13. Математика. ЕГЭ 2025. Основная волна. 27.05.2025

$$2 \sin x + 2 \sqrt{2} \sin (-x) - 4 \cos^2 x = \sqrt{2} - 4$$ $$2 \sin x - 2 \sqrt{2} \sin x - 4 (1 - \sin^2 x) = \sqrt{2} - 4$$ $$2 \sqrt{2} \sin^2 x + \sqrt{2} (1 - \sqrt{2} ) \sin x - 1 = 0$$ $$\sin^2 x - \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \right) \sin x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$$ По теореме Виета получаем, что или \(\sin x = \cfrac{1}{\sqrt{2}} \, \Rightarrow\) \( x = \cfrac{\pi}{4} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z},\) \(x = \cfrac{3 \pi}{4} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z},\) или \(\sin x = - \cfrac{1}{2} \, \Rightarrow\) \( x = - \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z},\) \(x = - \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z},\)

б) I $$- \frac{7 \pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{4} + 2 \pi n \leqslant - 2 \pi$$ $$- 14 \leqslant 1 + 8 n \leqslant - 8$$ $$- 15 \leqslant 8 n \leqslant - 9 $$ Нет решений в целых числах

II $$- \frac{7 \pi}{2} \leqslant \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi n \leqslant - 2 \pi$$ $$- 14 \leqslant 3 + 8 n \leqslant - 8$$ $$- 17 \leqslant 8 n \leqslant - 11 $$ Отсюда \(n = -2, \, x = - \cfrac{13 \pi}{4}.\)

III $$- \frac{7 \pi}{2} \leqslant - \frac{\pi}{6} + 2 \pi k \leqslant - 2 \pi$$ $$- 21 \leqslant -1 + 12 k \leqslant - 12$$ $$- 20 \leqslant 12 k \leqslant - 11 $$ Отсюда \(k = -1, \, x = - \cfrac{13 \pi}{6}.\)

IV $$- \frac{7 \pi}{2} \leqslant - \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k \leqslant - 2 \pi$$ $$- 21 \leqslant -5 + 12 k \leqslant - 12$$ $$- 16 \leqslant 12 k \leqslant - 7 $$ Отсюда \(k = -1, \, x = - \cfrac{17 \pi}{6}.\)

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{4} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{3 \pi}{4} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(- \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(- \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) б) \(- \cfrac{13 \pi}{4}; \, - \cfrac{17 \pi}{6}, - \cfrac{13 \pi}{6}.\)