Задание 13. Математика. ЕГЭ 2025. Основная волна. 27.05.2025-2

а) $$2 \cos (2 \pi + 2x) - 2 - \sqrt{8} \sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12} \sin x$$ $$2 (1 - 2 \sin^2 x) - 2 - \sqrt{8} \sin x - \sqrt{6} - \sqrt{12} \sin x = 0$$ $$\sin^2 x - \left( - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \sin x + \left( - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 0$$ Значит, либо \(\sin x = - \cfrac{\sqrt{2}}{2} \, \Rightarrow \) \(x = - \cfrac{\pi}{4} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z},\) \(x = - \cfrac{3\pi}{4} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z},\) либо \(\sin x = - \cfrac{\sqrt{3}}{2} \, \Rightarrow \) \(x = - \cfrac{\pi}{3} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z},\) \(x = - \cfrac{2\pi}{3} + 2 \pi q, \, q \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней

I$$- \frac{\pi}{2} \leqslant - \frac{\pi}{4} + 2 \pi k \leqslant \pi$$ $$- 2 \leqslant -1 + 8 k \leqslant 4$$ $$- 1 \leqslant 8 k \leqslant 5$$ $$k = 0, \,\, x = - \frac{\pi}{4}$$

II$$- \frac{\pi}{2} \leqslant - \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi m \leqslant \pi$$ $$- 2 \leqslant -3 + 8 m \leqslant 4$$ $$ 1 \leqslant 8 k \leqslant 7$$ Нет решений в целых числах.

III$$- \frac{\pi}{2} \leqslant - \frac{\pi}{3} + 2 \pi n \leqslant \pi$$ $$- 3 \leqslant -2 + 12 n \leqslant 6$$ $$- 1 \leqslant 12 n \leqslant 8$$ $$n = 0, \,\, x = - \frac{\pi}{3}$$

IV$$- \frac{\pi}{2} \leqslant - \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi q \leqslant \pi$$ $$- 3 \leqslant -4 + 12 n \leqslant 6$$ $$1 \leqslant 12 n \leqslant 10$$ Нет решений в целых числах.

Ответ: а) \(- \cfrac{\pi}{4} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(- \cfrac{3\pi}{4} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) \(- \cfrac{\pi}{3} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(- \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi q, \, q \in \mathbb{Z};\) б) \( - \cfrac{\pi}{3}; \, - \cfrac{\pi}{4}.\)