Задание 13. Математика. ЕГЭ 2025. Ященко-2

а) $$\cos^4 \frac{x}{4} - \sin^4 \frac{x}{4} = \sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right) \, \Rightarrow \, \left( \cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4} \right) \left( \cos^2 \frac{x}{4} + \sin^2 \frac{x}{4} \right) = - \cos x \, \Rightarrow $$ $$\cos \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1 = 0$$ Замена \(\cos \cfrac{x}{2} = y. \) Получаем квадратное уравнение \(2 y^2 + y - 1 = 0.\) Корни этого уравнения находим по теореме Виета: \(y_1 = -1, \, y_2 = \cfrac{1}{2}.\)

Обратная замена: \(y = -1 \, \Rightarrow \cos \cfrac{x}{2} = - 1\) \(\Rightarrow \cfrac{x}{2} = \pi + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}, \) \(\Rightarrow x = 2 \pi + 4 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\)

\(y = \cfrac{1}{2} \, \Rightarrow \, \cos \cfrac{x}{2} = \cfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow \cfrac{x}{2} = \pm \cfrac{\pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\) \(\Rightarrow x = \pm \cfrac{2 \pi}{3} + 4 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней

$$\pi \leqslant 2 \pi + 4 \pi n \leqslant 5 \pi \, \Rightarrow \,$$ $$1 \leqslant 2 + 4 n \leqslant 5 \, \Rightarrow$$ $$-1 \leqslant 4n \leqslant 3 \, \Rightarrow \, -\frac{1}{4} \leqslant n \leqslant \frac{3}{4} $$ Т.е. \( n = 0 \, \Rightarrow \, x = 2 \pi.\)

$$\pi \leqslant \frac{2 \pi}{3} + 4 \pi n \leqslant 5 \pi \, \Rightarrow \,$$ $$1 \leqslant \frac{2}{3} + 4 n \leqslant 5 \, \Rightarrow$$ $$\frac{1}{3} \leqslant 4n \leqslant \frac{13}{3} \, \Rightarrow \, \frac{1}{12} \leqslant n \leqslant \frac{13}{12} $$ Т.е. \( n = 1 \, \Rightarrow \, x = \cfrac{14 \pi}{3}.\)

$$\pi \leqslant - \frac{2 \pi}{3} + 4 \pi n \leqslant 5 \pi \, \Rightarrow \,$$ $$1 \leqslant -\frac{2}{3} + 4 n \leqslant 5 \, \Rightarrow$$ $$\frac{5}{3} \leqslant 4n \leqslant \frac{17}{3} \, \Rightarrow \, \frac{5}{12} \leqslant n \leqslant \frac{17}{12} $$ Т.е. \( n = 1 \, \Rightarrow \, x = \cfrac{10 \pi}{3}.\)

Ответ: а) \(2 \pi + 4 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}; \, \pm \cfrac{2 \pi}{3} + 4 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}.\) б) \(2 \pi, \, \cfrac{10 \pi}{3}, \, \cfrac{14 \pi}{3}.\)