Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Досрочный экзамен. 27.03.2026-2

а) $$2 \sin^2 x + 2 \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x\right)^2 = 1$$ $$2 \sin^2 x + \cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 1$$ $$\sin x \left( \sin x - \cos x \right) = 0$$ Получаем, что либо \(\sin x = 0 \, \Rightarrow \) \(x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z} ;\) либо \(\sin x = \cos x.\) А так как синус и косинус не могут одновременно равняться нулю для одного и того же значения аргумента, то можно поделить это уравнение на \(\cos x\) и поучить, что \(\mathrm{tg} \, x = 1,\) а, значит, \(x = \cfrac{\pi}{4} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I $$ \left. \frac{13 \pi}{2} \leqslant \pi n \leqslant \frac{15 \pi}{2} \right| \cdot \frac{2}{\pi}$$ $$13 \leqslant 2 n \leqslant 15$$ Отсюда \( n = 7 \, \Rightarrow \) \(x = 7 \pi.\)

II. $$ \left. \frac{13 \pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{4} + \pi k \leqslant \frac{15 \pi}{2} \right| \cdot \frac{4}{\pi}$$ $$26 \leqslant 1 + 4 k \leqslant 30$$ $$25 \leqslant 4 k \leqslant 29$$ Отсюда \( k = 7 \, \Rightarrow \) \(x = \cfrac{\pi}{4} + 7 \pi = \cfrac{29 \pi}{4}.\)

Ответ: а) \(\pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{\pi}{4} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) б) \(7 \pi ; \, \cfrac{29 \pi}{4} . \)