Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Статград 10.02.26

а) $$\sin 2x + 2 \sqrt{3} \cos^2 x = 0$$ $$2 \sin x \cos x + 2 \sqrt{3} \cos^2 x = 0$$ $$2 \cos x \left( \sin x + \sqrt{3} \cos x \right) = 0$$ Отсюда получаем два уравнения. Первое: \(\cos x = 0.\) Его решение \(x = \cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\) Второе уравнение: \(\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0\) или \(\sin x = - \sqrt{3} \cos x.\) Заметим, что \(\cos x \neq 0\) в этом уравнении. Действительно, если бы это было не так, то из этого уравнения следовало бы что и \(\sin x = 0.\) Но косинус и синус не могут одновременно равняться нулю для одного и того же аргумента. Поэтому, можно поделить второе уравнение на \(\cos x\) и получить уравнение \(\mathrm{tg} \, x = - \sqrt{3}.\) Его решением является множество чисел вида \(- \cfrac{\pi}{3} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I $$\frac{15 \pi}{4} \leqslant \frac{\pi}{2} + \pi n \leqslant \frac{21 \pi}{4}$$ $$15 \leqslant 2 + 4n \leqslant 21$$ $$13 \leqslant 4n \leqslant 19$$ Получаем, что \(n = 4,\) \(x = \cfrac{9 \pi}{2}.\)

II $$\frac{15 \pi}{4} \leqslant -\frac{\pi}{3} + \pi k \leqslant \frac{21 \pi}{4}$$ $$45 \leqslant -4 + 12 k \leqslant 63$$ $$49 \leqslant 12 k \leqslant 67$$ Получаем, что \(k = 5,\) \(x = \cfrac{14 \pi}{3}.\)

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(- \cfrac{\pi}{3} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{9 \pi}{2}; \, \cfrac{14 \pi}{3}.\)