Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Статград. 12.05.2026

а) $$2 \left( 1 - \sin^2 x \right) + \sin x - 1 = 0$$ $$2 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0$$ Замена \(y = \sin x:\) $$2y^2 - y - 1 = 0, \,\, D = 1 + 4 \cdot 2 = 9$$ $$y_{1, 2} = \frac{1 \pm 3}{4}, \,\, y_1 = 1, \,\, y_2 = - \frac{1}{2}$$ Обратная замена: $$\sin x = 1 \, \Rightarrow \, x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$$ $$\sin x = - \frac{1}{2} \, \Rightarrow x = - \frac{\pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z} \lor x = - \frac{5\pi}{6} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}$$

б) Отбор корней. I $$\frac{3 \pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{2} + 2 \pi n \leqslant 3 \pi$$ $$3 \leqslant 1 + 4n \leqslant 6$$ $$2 \leqslant 4n \leqslant 5$$ Отсюда \(n = 1 \, \Rightarrow x = \cfrac{\pi}{2} + 2 \pi = \cfrac{5 \pi}{2}.\)

II $$\frac{3 \pi}{2} \leqslant - \frac{\pi}{6} + 2 \pi k \leqslant 3 \pi$$ $$9 \leqslant -1 + 12k \leqslant 18$$ $$10 \leqslant 12k \leqslant 19$$ Отсюда \(k = 1 \, \Rightarrow x = -\cfrac{\pi}{6} + 2 \pi = \cfrac{11 \pi}{6}.\)

III $$\frac{3 \pi}{2} \leqslant - \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi m \leqslant 3 \pi$$ $$9 \leqslant -5 + 12m \leqslant 18$$ $$14 \leqslant 12m \leqslant 23$$ Это неравенство не имеет решений в целых числах.

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{2} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(-\cfrac{\pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(-\cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{11 \pi}{6}; \, \cfrac{5 \pi}{2} .\)