Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 1

а) Уравнение задания эквивалентно уравнению $$ 2 \cos^3 x - \sin^2 x -2 \cos x - \sin x = \cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right)$$ при условии, что $$ \begin{cases} 2 \cos^3 x - \sin^2 x -2 \cos x - \sin x \geqslant 0, \\ \sin x \leqslant 0 \end{cases} $$ Найдем корни уравнения, а потом отберём те из них, которые удовлетворяют ОДЗ. $$2 \cos x \left( \cos^2 x - 1 \right) - \sin^2 x - \sin x = - \sin x$$ $$\sin^2 x \left( 1 + 2 \cos x \right) = 0$$ Отсюда получаем два уравнения. Либо \(\sin^2 x = 0 \, \Rightarrow \sin x = 0\) \(\Rightarrow x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\) Либо, \(\cos x = - \cfrac{1}{2} \, \Rightarrow\) \(x = \pm \mathrm{arccos} \, \left( - \cfrac{1}{2} \right) + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\) \(\Rightarrow x = \pm \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}.\)

Проверяем получившиеся корни.

\(x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\) Тогда \(\sin x = 0,\) \(\cos x = \pm 1,\) \(2 (\pm 1)^3 - 0^2 - 2 (\pm 1) - 0 = 0.\) Второе условие ОДЗ \(\sin x \leqslant 0\) выполняется автоматически. Эти корни подходят.

\(x = \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\) не подходит, так как в этом случае \(\sin x > 0.\)

\(x = -\cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}.\) В этом случае \(\sin x < 0,\) \(\cos x = - \cfrac{1}{2},\) \(2 \cos^3 x - 2 \cos x = - \cfrac{1}{4} + 1 > 0, \Rightarrow\) \(2 \cos^3 x - \sin^2 x -2 \cos x - \sin x > 0.\) Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

б) I. $$x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$$ $$-4 \pi \leqslant \pi n \leqslant - \frac{5 \pi}{2}$$ $$-4 \leqslant n \leqslant - \frac{5}{2}$$ Значит \(n = -4, \, -3 \, \Rightarrow x = -4 \pi , \, -3 \pi .\)

II. $$x = - \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$$ $$ \left. -4 \pi \leqslant - \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k \leqslant - \frac{5 \pi}{2} \right| \cdot 6$$ $$ -24 \leqslant - 4 + 12 \pi k \leqslant - 15 $$ $$- \frac{20}{12} \leqslant k \leqslant - \frac{11}{12}$$ Значит \(k = -1, \, \Rightarrow \, x = - \cfrac{8 \pi}{3}.\)

Ответ:а) \(\pi n, \, n \in \mathbb{Z} ; \, - \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z} ;\) б) \(-4 \pi , \, -3 \pi , \, - \cfrac{8 \pi}{3}.\)