Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 10

а) $$2 \sin^2 2x \cos 2x - \frac{1}{2} \cos 4x = \cos 2x$$ $$\cos 2x \left( 2 \sin^2 2x - 1 \right) - \frac{1}{2} \cos 4x =0$$ $$\cos 4x \left( \cos 2x + \frac{1}{2} \right) = 0$$ Значит, либо \(\cos 4x = 0\) и тогда \(4x = \cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}, \, \Rightarrow\) \(x = \cfrac{\pi}{8} + \cfrac{\pi n}{4}, \, n \in \mathbb{Z}.\)

Либо \(\cos 2x = -\cfrac{1}{2}\) и тогда \(2x = \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(2x = -\cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z},\) или \(x = \cfrac{\pi}{3} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(x = -\cfrac{\pi}{3} + \pi m, \, m \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I $$- \frac{7 \pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \leqslant - \frac{5 \pi}{2}$$ $$- 28 \leqslant 1 + 2n \leqslant -20$$ $$- 29 \leqslant 2n \leqslant -21$$ Отсюда \(n = -11, \, -12, \, -13, \, -14\) и соответствующие корни \(- \cfrac{21 \pi}{8},\) \(- \cfrac{23 \pi}{8},\) \(- \cfrac{25 \pi}{8},\) \(- \cfrac{27 \pi}{8}.\)

II $$- \frac{7 \pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{3} + \pi k \leqslant - \frac{5 \pi}{2}$$ $$- 21 \leqslant 2 + 6k \leqslant -15$$ $$- 23 \leqslant 6k \leqslant -17$$ Получаем, что \(k = -3\) и \(x = - \cfrac{8 \pi}{3}.\)

III $$- \frac{7 \pi}{2} \leqslant -\frac{\pi}{3} + \pi m \leqslant - \frac{5 \pi}{2}$$ $$- 21 \leqslant -2 + 6m \leqslant -15$$ $$- 19 \leqslant 6k \leqslant -13$$ Получаем, что \(k = -3\) и \(x = - \cfrac{10 \pi}{3}.\)

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{8} + \cfrac{\pi n}{4}, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{\pi}{3} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(-\cfrac{\pi}{3} + \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \( - \cfrac{27 \pi}{8};\) \( - \cfrac{10 \pi}{3};\) \( - \cfrac{25 \pi}{8};\) \( - \cfrac{23 \pi}{8};\) \( - \cfrac{8 \pi}{3};\) \( - \cfrac{21 \pi}{8}.\)