Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 11

а) $$\left( \sin^2 \frac{x}{4} - \cos^2 \frac{x}{4} \right) \left( \sin^2 \frac{x}{4} + \cos^2 \frac{x}{4} \right) = - \sin x$$ $$- \cos \frac{x}{2} = -2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$$ $$\cos \frac{x}{2} \left( 1 - 2 \sin{x}{2} \right) = 0$$ Значит, либо \(\cos \cfrac{x}{2} = 0\) и тогда \(\cfrac{x}{2} = \cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \, \Rightarrow\) \(x = \pi + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\)

Либо \(\sin \cfrac{x}{2} = \cfrac{1}{2},\) и тогда \(\cfrac{x}{2} = \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \) \(\cfrac{x}{2} = \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z} \, \Rightarrow \) \(x = \cfrac{\pi}{3} + 4 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(x = \cfrac{5 \pi}{3} + 4 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I $$-4 \pi \leqslant \pi + 2 \pi n \leqslant - \pi$$ $$-4 \leqslant 1 + 2n \leqslant -1$$ $$-5 \leqslant 1 + 2n \leqslant -2$$ Отсюда получаем, что \(n = -1; \, -2\) и, соответственно, корни \(- \pi; \, -3 \pi.\)

II. $$-4 \pi \leqslant \frac{\pi}{3} + 4 \pi k \leqslant - \pi$$ $$-12 \leqslant 1 + 12 k \leqslant -3$$ $$-13 \leqslant 12 k \leqslant -4$$ Поэтому, \(k = -1\) и ему соответствует корень \(- \cfrac{11 \pi}{3}.\)

III. $$-4 \pi \leqslant \frac{5 \pi}{3} + 4 \pi m \leqslant - \pi$$ $$-12 \leqslant 5 + 12 m \leqslant -3$$ $$-17 \leqslant 12 m \leqslant -8$$ Поэтому, \(m = -1\) и ему соответствует корень \(- \cfrac{7 \pi}{3}.\)

Ответ: а) \(\pi + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{\pi}{3} + 4 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{5 \pi}{3} + 4 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(-\cfrac{11 \pi}{3};\) \(-3 \pi ;\) \(- \cfrac{7 \pi}{3};\) \(- \pi .\)