Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 12

а) $$\left( \cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4}\right) \left( \cos^2 \frac{x}{4} + \sin^2 \frac{x}{4}\right) = - \cos x$$ $$\cos \frac{x}{2} = - \cos x$$ $$2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1 + \cos \frac{x}{2} = 0$$ Заменой \( y = \cos \cfrac{x}{2}\) получаем квадратное уравнение \(2y^2 + y - 1 = 0,\) корни которого легко находятся по теореме Виета: \( y = -1; \, \cfrac{1}{2}.\)

Обратная замена. Первое уравнение \(\cos \cfrac{x}{2} = -1\) даёт, что \(\cfrac{x}{2} = \pi + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \, \Rightarrow\) \(x = 2 \pi + 4 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\)

Из второго уравнения \(\cos \cfrac{x}{2} = \cfrac{1}{2}\) получаем, что \(\cfrac{x}{2} = \cfrac{\pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{x}{2} = -\cfrac{\pi}{3} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z} \, \Rightarrow\) \(x = \cfrac{2 \pi}{3} + 4 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(x = -\cfrac{2 \pi}{3} + 4 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\)

б) Отбор корней. I. $$\pi \leqslant 2 \pi + 4 \pi n \leqslant 5 \pi$$ $$1 \leqslant 2 + 4 n \leqslant 5 $$ $$-1 \leqslant 4 n \leqslant 3$$ Отсюда находим, что \( n = 0\) и соответствующий корень будет \(2 \pi.\)

II. $$\pi \leqslant \frac{2 \pi}{3} + 4 \pi k \leqslant 5 \pi$$ $$3 \leqslant 2 + 12 k \leqslant 15$$ $$1 \leqslant 12 k \leqslant 13$$ Отсюда \(k = 1\) и соответствующий корень будет \(\cfrac{14 \pi}{3}.\)

III. $$\pi \leqslant -\frac{2 \pi}{3} + 4 \pi m \leqslant 5 \pi$$ $$3 \leqslant -2 + 12 m \leqslant 15$$ $$5 \leqslant 12 m \leqslant 17$$ Отсюда \(m = 1\) и соответствующий корень будет \(\cfrac{10 \pi}{3}.\)

Ответ: а) \(2 \pi + 4 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{2 \pi}{3} + 4 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(- \cfrac{2 \pi}{3} + 4 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(2 \pi;\) \(\cfrac{10 \pi}{3};\) \(\cfrac{14 \pi}{3}.\)