Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 13

а) Заметим, что $$\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)$$ Тогда уравнение из пункта а) запишется так: $$2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos^2 \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = \cos^4 x$$ $$\frac{1}{2} \sin^2 \left(x - \frac{\pi}{2} \right) = \cos^4 x$$ $$\cos^4 x - \frac{1}{2} \cos^2 x = 0$$ $$\frac{1}{2} \cos^2 x (2 \cos^2 x - 1) = 0 \, \Rightarrow \, \frac{1}{2} \cos^2 x \cdot \cos^2 2x = 0$$ Следовательно, либо \(\cos x = 0\) и значит \(x = \cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\) Либо \(\cos 2x = 0\) и поэтому \( 2x = \cfrac{\pi}{2} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z} \, \Rightarrow \) \(x = \cfrac{\pi}{4} + \cfrac{\pi k}{2}, \, k \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I. $$-3 \pi \leqslant \frac{\pi}{2} + \pi n \leqslant -2 \pi$$ $$-6 \leqslant 1 + 2n \leqslant -4$$ $$-7 \leqslant 2n \leqslant -5$$ Поэтому, \(n = -3,\) а соответствующий корень будет \(-\cfrac{5 \pi}{2}.\)

II. $$-3 \pi \leqslant \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \leqslant -2 \pi$$ $$-12 \leqslant 1 + 2k \leqslant -8$$ $$-13 \leqslant 2k \leqslant -9$$ Поэтому, \(k = -5; \, -6\) а соответствующие корни будут \(-\cfrac{9 \pi}{4};\) \(-\cfrac{11 \pi}{4}.\)

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{\pi}{4} + \cfrac{\pi k}{2}, \, k \in \mathbb{Z};\) б) \(-\cfrac{11 \pi}{4};\) \(-\cfrac{5 \pi}{2};\) \(-\cfrac{9 \pi}{4}.\)