Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 14

а) Заметим, что $$\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = - \sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)$$ Тогда, уравнение из пункта а) запишется в следующем виде $$3 \sin^2 \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos^2 \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = \cos^4 x$$ $$\frac{3}{4} \sin^2 \left( x - \frac{\pi}{2} \right) = \cos^4 x$$ $$\cos^4 x - \frac{3}{4} \cos^2 x = 0$$ $$\cos^2 x \left( \cos^2 x - \frac{3}{4} \right) = 0$$ Получаем два уравнения. Певрое: \(\cos^2 x = 0 \, \Rightarrow \) \(\cos x = 0 \, \Rightarrow\) \(x = \cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\)

Второе: \(\cos^2 x = \cfrac{3}{4}.\) Оно приводит к двум простейшим тригонометрическим уравнениям: \(\cos x = \cfrac{\sqrt{3}}{2},\) решением которого будет \(x = \pm \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi q, \, q \in \mathbb{Z},\) и \(\cos x = - \cfrac{\sqrt{3}}{2},\) решением которого будет \(x = \pm \cfrac{5\pi}{6} + 2 \pi r, \, r \in \mathbb{Z}.\) Отметим эти точки на тригонометрической окружности:

Видно, что точки \(A\) и \(D\) — это \(\cfrac{\pi}{6} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}.\) А точки \(B\) и \(C\) — это \(-\cfrac{\pi}{6} + \pi m, \, m \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I. $$3 \pi \leqslant \frac{\pi}{2} + \pi n \leqslant 4 \pi$$ $$6 \leqslant 1 + 2n \leqslant 8$$ $$5 \leqslant 2n \leqslant 7$$ Получаем, что \(n = 3,\) а соответствующий корень равен \(\cfrac{7 \pi}{2}.\)

II. $$3 \pi \leqslant \frac{\pi}{6} + \pi k \leqslant 4 \pi$$ $$18 \leqslant 1 + 6k \leqslant 24$$ $$17 \leqslant 6k \leqslant 23$$ Получаем, что \(k = 3,\) а соответствующий корень равен \(\cfrac{19 \pi}{6}.\)

III. $$3 \pi \leqslant -\frac{\pi}{6} + \pi m \leqslant 4 \pi$$ $$18 \leqslant -1 + 6m \leqslant 24$$ $$19 \leqslant 6m \leqslant 25$$ Получаем, что \(k = 4,\) а соответствующий корень равен \(\cfrac{23 \pi}{6}.\)

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{\pi}{6} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(-\cfrac{\pi}{6} + \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{19 \pi}{6};\) \(\cfrac{7 \pi}{2};\) \(\cfrac{23 \pi}{6}.\)