Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 15

а) Преобразуем наше уравнение: \(\log_{0{,}5}^2 \left(x^2 \right) = -2 \log_2 \left( |x| \right) ,\) \(\log_8 \left(x^4 \right) = \cfrac{4}{3} \log_2 \left(|x| \right) .\) Заменой \(y = \log_2 \left( |x| \right)\) уравнение из условия задания преобразуется в квадратное уравнение \(12 y^2 - 16 y -3 = 0.\) Решаем его: \(D = (-16)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 12 = 400,\) \(y_1 = \cfrac{16+20}{24} = \cfrac{3}{2},\) \(y_2 = \cfrac{16-20}{24} = -\cfrac{1}{6}.\) Обратная замена: \(\log_2 \left( |x| \right) = \cfrac{3}{2}, \, \Rightarrow\) \(x_1 = 2 \sqrt{2},\) \(x_2 = - 2 \sqrt{2}.\) И \(\log_2 \left( |x| \right) = -\cfrac{1}{6}, \, \Rightarrow\) \(x_3 = \cfrac{1}{\sqrt[6]{2}},\) \(x_4 = - \cfrac{1}{\sqrt[6]{2}}.\)

б) Отбор корней. I. \(2 > 1{,}96 \, \Rightarrow\) \(\sqrt{2} > 1{,}4 \, \Rightarrow\) \(2 \sqrt{2} > 2{,}8 \, \Rightarrow \) \(-2 \sqrt{2} < -2{,}8.\) Значит корень \(-2\sqrt{2}\) не принадлежит отрезку, указанному в пункте б).

II. \(2 \sqrt{2} \lor 2{,}9 \, \Rightarrow \) \(8 \lor 8{,}41 \, \Rightarrow \) \( 8 < 8{,}41 \, \Rightarrow\) \(2 \sqrt{2} < 2{,}9.\) А так как \(2 \sqrt{2} > 0 > - 0{,}9,\) получаем, что корень \(2\sqrt{2}\) принадлежит указанному в пункте б) отрезку.

III. Так как \(\cfrac{1}{2} = \left( \cfrac{1}{\sqrt[6]{2}} \right)^6 < 64 = 2^6 < \left( 2{,}9 \right)^6\) и с учётом того, что \(\cfrac{1}{\sqrt[6]{2}} > 0 > -0{,}9 ,\) то корень \(\cfrac{1}{\sqrt[6]{2}}\) принадлежит указанному в пункте б) отрезку.

IV. \(-\cfrac{1}{\sqrt[6]{2}} < 2{,}9.\) Теперь $$\frac{1}{\sqrt[6]{2}} \lor \frac{9}{10}$$ $$\frac{1}{2} \lor \frac{9^6}{10^6}$$ $$500~000 = 5 \cdot 10^5 \lor 9^3 \cdot 9^3 = 729 \cdot 729 = 531~441$$ $$\frac{1}{\sqrt[6]{2}} < \frac{9}{10}$$ $$- \frac{1}{\sqrt[6]{2}} > - \frac{9}{10}$$ Значит, корень \(- \cfrac{1}{\sqrt[6]{2}} \) принадлежит отрезку из пункта б).

Ответ: а) \(-2 \sqrt{2};\) \(- \cfrac{1}{\sqrt[6]{2}} ;\) \(\cfrac{1}{\sqrt[6]{2}}; \) \(2 \sqrt{2};\) б) \(- \cfrac{1}{\sqrt[6]{2}} ;\) \(\cfrac{1}{\sqrt[6]{2}}; \) \(2 \sqrt{2}.\)