Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 16

а) Заметим, что \(\log_{25} \left( x^4 \right) = 2 \log_5 \left( |x| \right)\) и \(\log_{0{,}2} \left( x^8 \right) = -8 \log_5 \left( |x| \right).\) Заменой \(y = \log_5 \left( |x| \right)\) исходное уравнение преобразуется в квадратное \(4y^2 - 8y + 3 = 0.\) Решаем его: \( D = (-8)^2 -4 \cdot 4 \cdot 3 = 16,\) \(y_1 = \cfrac{8 + 4}{8} = \cfrac{3}{2},\) \(y_2 = \cfrac{8 - 4}{8} = \cfrac{1}{2}.\) Обратная замена: \(\log_5 \left( |x| \right) = \cfrac{3}{2} \, \Rightarrow\) \(x_1 = 5 \sqrt{5},\) \(x_2 = -5 \sqrt{5}.\) И \(\log_5 \left( |x| \right) = \cfrac{1}{2} \, \Rightarrow\) \(x_3 = \sqrt{5},\) \(x_4 = - \sqrt{5}.\)

б) Отбор корней. I. Так как \(\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2,\) то \(5 \sqrt{5} > 10 > 2{,}3\) и \(-5 \sqrt{5} < - 2{,}3.\) Корень \(-5 \sqrt{5}\) не принадлежит отрезку из пункта б).

II. $$5 \sqrt{5} \lor 11{,}3$$ $$125 \lor \frac{113^2}{10^2}$$ $$125 \cdot 100 \lor 113^2$$ $$12~500 < 12~769$$ Значит, \(5 \sqrt{5} < 11{,}3.\) С учётом того, что \(5 \sqrt{5} > 0 > -2{,}3,\) делаем вывод, что корень \(5 \sqrt{5} \) принадлежит отрезку из пункта б).

III. Так как \((2{,}3)^2 = 5{,}29,\) то \(\sqrt{5} < 2{,}3 \, \Rightarrow\) \(- \sqrt{5} > - 2{,}3.\) С учётом того, что \(-\sqrt{5} < 0 < 11{,}3,\) заключаем, что \(\sqrt{5}\) принадлежит отрезку из пункта б).

IV. Наконец, \(\sqrt{5} > 0 > -2{,}3.\) И \(\sqrt{5} < \sqrt{9} = 3 < 11{,}3,\) значит корень \(\sqrt{5}\) принадлежит отрезку из пункта б).

Ответ: а) \(-5 \sqrt{5};\) \(- \sqrt{5};\) \(\sqrt{5};\) \(5 \sqrt{5};\) б) \(- \sqrt{5};\) \(\sqrt{5};\) \(5 \sqrt{5}.\)