Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 17

а) ОДЗ: \( \sin \left( 2x - \pi \right) = - \sin 2x = -2 \sin x \cdot \cos x \neq 0.\) Значит, \(\sin x \neq 0\) или \(\cos x \neq 0.\) Окончательно, \(x \neq \cfrac{\pi k}{2}, \, k \in \mathbb{Z}.\)

Преобразуем исходное уравнение: $$2 \sin x \cdot \left( 2 \sin^2 x - 1 \right) = - \sin 2x$$ $$2 \sin x \left( 2 - 2 \cos^2 x + \cos x -1 \right) = 0$$ Отсюда получаем два уравнения. Первое: \(\sin x = 0.\) Но это запрещено по ОДЗ.

После замены переменной \(y = \cos x\) второе уравнение преобразуется в квадратное: \(2y^2 - y - 1 = 0.\) По теореме Виета его корни \(y_1 = 1\) и \(y = - \cfrac{1}{2}.\) Обратная замена: \(\cos x = 1. \) Но тогда по ОТТ \(\sin x = 0 ,\) а это запрещено по ОДЗ. Остаётся \(\cos x = - \cfrac{1}{2} \, \Rightarrow\) \(x = \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi q , \, q \in \mathbb{Z}\) и \(x =- \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi p , \, p \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I. $$-3 \pi \leqslant \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi q \leqslant - \frac{\pi}{2}$$ $$-18 \leqslant 4 + 12 q \leqslant -3$$ $$-22 \leqslant 12 q \leqslant -7$$ Отсюда получаем, что \(q = -1,\) а соответствующий корень равно \(- \cfrac{4 \pi}{3}.\)

II. $$-3 \pi \leqslant - \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi p \leqslant - \frac{\pi}{2}$$ $$-18 \leqslant -4 + 12 p \leqslant -3$$ $$-14 \leqslant 12 q \leqslant 1$$ Отсюда получаем, что \(p = 0\) или \(p = -1,\) а соответствующие корни равны \(- \cfrac{2 \pi}{3}\) и \(- \cfrac{8 \pi}{3}.\)

Ответ: а) \(\cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi q , \, q \in \mathbb{Z};\) \(-\cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi p , \, p \in \mathbb{Z};\) б) \(-\cfrac{8 \pi}{3};\) \(-\cfrac{4 \pi}{3};\) \(-\cfrac{2 \pi}{3}.\)