Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 18

а) ОДЗ: \( \cos \left( 2x - \cfrac{\pi}{2} \right) = \sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x \neq 0.\) Значит, \(\sin x \neq 0\) или \(\cos x \neq 0.\) Окончательно, \(x \neq \cfrac{\pi p}{2}, \, p \in \mathbb{Z}.\)

Преобразуем исходное уравнение: $$4 \cos^3 x - 6 \cos x - 3 \sin 2x = 0$$ $$\cos x \cdot \left( 4 \cos^2 x - 6 - 6 \sin x \right) = 0$$ $$-2 \cos x \cdot \left( 2 \sin^2 x + 3 \sin x + 1 \right) = 0$$ Отсюда получаем два уравнения. Первое: \(\cos x = 0.\) Но это запрещено по ОДЗ.

После замены переменной \(y = \sin x\) второе уравнение преобразуется в квадратное: \(2y^2 + 3y + 1 = 0.\) По теореме Виета его корни \(y_1 = -1\) и \(y = - \cfrac{1}{2}.\) Обратная замена: \(\sin x = -1. \) Но тогда по ОТТ \(\cos x = 0 ,\) а это запрещено по ОДЗ. Остаётся \(\sin x = - \cfrac{1}{2} \, \Rightarrow\) \(x = - \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi n , \, n \in \mathbb{Z}\) и \(x =- \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi k , \, k \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I. $$\frac{3 \pi}{2} \leqslant -\frac{\pi}{6} + 2 \pi n \leqslant 4 \pi$$ $$9 \leqslant -1 + 12 n \leqslant 24$$ $$10 \leqslant 12 n \leqslant 25$$ Отсюда получаем, что \(n = 1\) или \(n = 2,\) а соответствующие корни равны \(\cfrac{11 \pi}{6}\) и \(\cfrac{23 \pi}{6}.\)

II. $$\frac{3 \pi}{2} \leqslant - \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k \leqslant 4 \pi$$ $$9 \leqslant -5 + 12 k \leqslant 24$$ $$14 \leqslant 12 k \leqslant 29$$ Отсюда получаем, что \(k = 2,\) а соответствующий корень равен \(\cfrac{19 \pi}{6}.\)

Ответ: а) \(-\cfrac{\pi}{6} + 2 \pi n , \, n \in \mathbb{Z};\) \(-\cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi k , \, k \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{11 \pi}{6};\) \(\cfrac{19 \pi}{6};\) \(\cfrac{23 \pi}{6}.\)