Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 19

а) ОДЗ: \(4x^2 - 1 \geqslant 0 \, \Rightarrow \) \(|x| \geqslant \cfrac{1}{2}.\) Причём при \(x = \pm \cfrac{1}{2}\) подкоренное выражение обращается в нуль, а, значит, эти числа являются корнями исходного уравнения. Найдём те числа, которые с учётом ОДЗ, обращают в нуль выражение в скобках. Получаем: \(4 \cdot 2^{6x} - 26 \cdot 2^{3x} + 12 = 0.\) Заменой \(y = 2^{3x}\) последнее уравнение сводится к квадратному: \(2y^2 - 13 y + 6 = 0.\) Решаем это уравнение: \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 121,\) \(y_1 = \cfrac{13+11}{4} = 6,\) \(y_2 = \cfrac{13-11}{4} = \cfrac{1}{2}.\) Обратная замена: \(2^{3x} = 6 \, \Rightarrow\) \(x = \cfrac{1}{3} \log_2 6.\) Так как \(\log_2 6 > \log_2 4 = 2,\) то \(\cfrac{1}{3} \log_2 6 > \cfrac{2}{3}\) и, значит, входит в ОДЗ. Вторая замена: \(2^{3x} = \cfrac{1}{2} \, \Rightarrow\) \(x = - \cfrac{1}{3}\) и этот корень не входит в ОДЗ.

б) Отбор корней. Так как \(-1 < \cfrac{1}{2} < 1\) и \(-1 < -\cfrac{1}{2} < 1,\) то корни \(\cfrac{1}{2}\) и \(-\cfrac{1}{2}\) входят в указанный пункте б) отрезок. Далее, \(\cfrac{1}{3} \log_2 6 > -1.\) Сравним этот корень с \(1:\) $$\frac{1}{3} \log_2 6 \lor 1$$ $$\log_2 6 \lor 3$$ $$6 \lor 8$$ И так как \( 6 < 8,\) то \(\cfrac{1}{3} \log_2 6 < 1,\) а значит \(\cfrac{1}{3} \log_2 6\) входит в отрезок из пункта б).

Ответ: а) \(-\cfrac{1}{2};\) \(\cfrac{1}{2};\) \(\cfrac{1}{3} \log_2 6;\) б) \(-\cfrac{1}{2};\) \(\cfrac{1}{2};\) \(\cfrac{1}{3} \log_2 6.\)