Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 2

а) Уравнение задания эквивалентно уравнению $$4 \sin^3 x - 4 \cos^2 x - \cos x - \sin x + 3 = - \cos x$$ при условии, что \(x\) принадлежит ОДЗ, определяемой системой неравенств: $$ \begin{cases} 4 \sin^3 x - 4 \cos^2 x - \cos x - \sin x + 3 \geqslant 0 , \\ \cos x \leqslant 0. \end{cases} $$ Найдём корни получившегося уравнения, после чего отберём те из них, которые удовлетворяют ОДЗ. $$4 \sin^3 x - 4 (1 - \sin^2 x) - \cos x - \sin x + 3 = - \cos x$$ $$4 \sin^3 x + 4 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0$$ $$(\sin x + 1) (4 \sin^2 x - 1) = 0$$ Имеем два уравнения. Первое: \(\sin x = -1 \, \Rightarrow\) \(x = - \cfrac{\pi}{2} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\)

Второе: \(4\sin^2 x - 1 = 0,\) из которого следует два уравнения. Одно из них \(\sin x = \cfrac{1}{2},\) значит \(x = \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi l, \, l \in \mathbb{Z},\) \(x = \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}.\) Другое \(\sin x = - \cfrac{1}{2}\) и поэтому \(x = - \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi q, \, q \in \mathbb{Z},\) \(x = - \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}.\)

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.

\(x = - \cfrac{\pi}{2} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\) В этом случае \(\sin x = -1, \) \(\cos x = 0.\) Выражение под корнем в левой части исходного уравнения даёт \(-4 - 0 - 0 + 1 + 3 = 0,\) первое неравенство ОДЗ выполняется. Второе выполняется автоматически. Значит эти корни подходят.

\(x = \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi l, \, l \in \mathbb{Z}.\) Тогда \(\sin x = \cfrac{1}{2},\) \(\cos x = \cfrac{\sqrt{3}}{2} > 0.\) Эти корни не принадлежат ОДЗ, так как не удовлетворяют второму неравенству ОДЗ. Их исключаем.

\(x = \cfrac{5\pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}.\) Тогда \(\sin x = \cfrac{1}{2},\) \(\cos x = - \cfrac{\sqrt{3}}{2} < 0.\) Выражение под корнем в левой части исходного уравнения равно $$\frac{4}{8} - \frac{4 \cdot 3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} + 3 > 0$$ Эти корни принадлежат ОДЗ. Они подходят.

\(x = - \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi q, \, q \in \mathbb{Z}.\) Тогда \(\sin x = - \cfrac{1}{2},\) \(\cos x = \cfrac{\sqrt{3}}{2} > 0.\) Эти корни не принадлежат ОДЗ, так как не удовлетворяют второму неравенству ОДЗ. Их исключаем.

\(x = - \cfrac{5\pi}{6} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}.\) Тогда \(\sin x = - \cfrac{1}{2},\) \(\cos x = - \cfrac{\sqrt{3}}{2} < 0.\) Выражение под корнем в левой части исходного уравнения равно $$-\frac{4}{8} - \frac{4 \cdot 3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + 3 > 0$$ Эти корни принадлежат ОДЗ. Они подходят.

б) Отбор корней. I. $$ \left. \frac{9 \pi}{2} \leqslant - \frac{\pi}{2} + 2 \pi n \leqslant 6 \pi \right| \cdot 2$$ $$9 \leqslant -1 + 4n \leqslant 12, \,\, \Rightarrow \,\, 10 \leqslant 4n \leqslant 13$$ Значит, \(n = 3, \, \Rightarrow\) \(x = \cfrac{11 \pi}{2}.\)

II. $$ \left. \frac{9 \pi}{2} \leqslant \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k \leqslant 6 \pi \right| \cdot 6$$ $$27 \leqslant 5 + 12k \leqslant 36, \,\, \Rightarrow \,\, 22 \leqslant 12k \leqslant 31$$ Значит, \(k = 2, \, \Rightarrow\) \(x = \cfrac{29 \pi}{6}.\)

III. $$ \left. \frac{9 \pi}{2} \leqslant - \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi m \leqslant 6 \pi \right| \cdot 6$$ $$27 \leqslant -5 + 12m \leqslant 36, \,\, \Rightarrow \,\, 32 \leqslant 12m \leqslant 41$$ Значит, \(m = 3, \, \Rightarrow\) \(x = \cfrac{31 \pi}{6}.\)

Ответ:а) \(- \cfrac{\pi}{2} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(- \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{29 \pi}{6};\) \(\cfrac{31 \pi}{6};\) \(\cfrac{11 \pi}{2}.\)