Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 20

а) ОДЗ: \(16 - 25 x^2 \geqslant 0 \, \Rightarrow\) \(|x| \leqslant \cfrac{4}{5}.\) Кроме того, \(-\cfrac{4}{5}\) и \(\cfrac{4}{5}\) обращают в нуль подкоренное выражение в уравнении, и, поэтому, являются корнями исходного уравнения. Найдём все числа, для которых выражение в скобках равно нулю: $$9^{3x+2} - 163 \cdot 27^x + 2 = 0$$ $$81 \cdot 3^{6x} - 163 \cdot 3^{3x} + 2 = 0$$ Заменой \(y = 3^{3x}\) последнее уравнение сводится к квадратному \(81 y^2 - 163 y + 2 = 0.\) Теперь \(\cfrac{163}{81} = 2 + \cfrac{1}{81}.\) Поэтому по теореме Виета корни получившегося квадратного уравнения будут \(y_1 = 2\) и \(y = \cfrac{1}{81}.\) Обратная замена: \(3^{3x} = 2 \, \Rightarrow \) \(x = \cfrac{1}{3} \log_3 2.\) Этот корень входит в ОДЗ (действительно \(0 < \cfrac{1}{3} \log_3 2 < \log_3 3 = 1\) и поэтому \(\left. \cfrac{1}{3} \log_3 2 < \cfrac{1}{3} < \cfrac{4}{5} \right).\) Вторая замена: \(3^{3x} = \cfrac{1}{81} \, \Rightarrow \) \(x = - \cfrac{4}{3}.\) Этот корень не входит в ОДЗ \( \left( \left| - \cfrac{4}{3} \right| > 1 \right) .\)

б) Отбор корней. Так как \(- \cfrac{4}{5} < 0{,}4,\) то корень \(-\cfrac{4}{45}\) не входит в отрезок из пункта б).

Далее \(0{,}4 = \cfrac{2}{5} < \cfrac{4}{5} < 4\) и поэтому корень \(\cfrac{4}{5}\) входит в отрезок из пункта б).

Сравним третий корень \(\cfrac{1}{3} \log_3 2\) и \(0{,}4 = \cfrac{2}{5}:\) $$\frac{1}{3} \log_3 2 \lor \frac{2}{5} $$ $$\log_3 2 \lor \frac{6}{5}$$ $$2 \lor 3^{\frac{6}{5}}$$ Так как \(3^{\frac{6}{5}} > 3,\) то получаем, что \(2 < 3^{\frac{6}{5}}\) и \(\cfrac{1}{3} \log_3 2 < 0{,}4.\) Поэтому корень \(\cfrac{1}{3} \log_3 2\) не входит в отрезок из пункта б).

Ответ: а) \(- \cfrac{4}{5};\) \(\cfrac{1}{3} \log_3 2 ;\) \(\cfrac{4}{5};\) б) \(\cfrac{4}{5}.\)