Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 21

а) $$\sin x \cdot \left( 2 \cos^2 x - 1 \right) - \sqrt{3} \cos^2 x + \sin x = 0$$ $$2\sin x \cdot \cos^2 x - \sqrt{3} \cos^2 x = 0$$ $$\cos^2 x \cdot \left( 2 \sin x - \sqrt{3} \right) = 0.$$ Получаем два уравнения. Первое: \(\cos x = 0 \, \Rightarrow \) \(x = \cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\) Второе: \(\sin x = \cfrac{\sqrt{3}}{2} \, \Rightarrow \) \(x = \cfrac{\pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\) или \(x = \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}\)

б) Отбор корней. I. $$\frac{5 \pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{2} + \pi n \leqslant 4 \pi$$ $$5 \leqslant 1 + 2n \leqslant 8$$ $$4 \leqslant 2n \leqslant 7$$ Отсюда \(n = 2; \, 3,\) а соответствующие корни будут \(\cfrac{5 \pi}{2}\) и \(\cfrac{7 \pi}{2}.\)

II. $$\frac{5 \pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{3} + 2 \pi k \leqslant 4 \pi$$ $$15 \leqslant 2 + 12k \leqslant 24$$ $$13 \leqslant 2k \leqslant 22$$ Это неравенство не имеет решений в целых числах.

III. $$\frac{5 \pi}{2} \leqslant \frac{2\pi}{3} + 2 \pi m \leqslant 4 \pi$$ $$15 \leqslant 4 + 12m \leqslant 24$$ $$11 \leqslant 12m \leqslant 20$$ Отсюда \(m = 1\) и соответствующий корень равен \(\cfrac{8 \pi}{3}.\)

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{\pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{5 \pi}{2};\) \(\cfrac{8 \pi}{3};\) \(\cfrac{7 \pi}{2}.\)