Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 22

а) $$\cos x \cdot \left( 1 - 2 \sin^2 x \right) - \sin^2 x - \cos x = 0$$ $$-2 \cos x \cdot \sin^2 x - \sin^2 x = 0$$ $$- \sin^2 x \left( 2 \cos x + 1 \right) = 0$$ Получаем два уравнения. Первое: \(\sin x = 0 \, \Rightarrow \) \( x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\) Второе: \(\cos x = - \cfrac{1}{2} \, \Rightarrow\) \(x = \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\) и \(x = - \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I. $$- \frac{5 \pi}{2} \leqslant \pi n \leqslant - \pi$$ $$- 5 \leqslant 2 n \leqslant -2$$ Отсюда \(n = -2; \, -1,\) а соответствующие корни равны \(-2 \pi\) и \(- \pi .\)

II. $$- \frac{5 \pi}{2} \leqslant \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k \leqslant - \pi$$ $$- 15 \leqslant 4 + 12 k \leqslant -6$$ $$- 19 \leqslant 12 k \leqslant -10$$ Отсюда \(k = -1,\) а соответствующий корень равен \(-\cfrac{4 \pi}{3}.\)

III. $$- \frac{5 \pi}{2} \leqslant -\frac{2 \pi}{3} + 2 \pi m \leqslant - \pi$$ $$- 15 \leqslant -4 + 12 m \leqslant -6$$ $$- 11 \leqslant 12 m \leqslant -2$$ Это неравенство не имеет решений в целых числах.

Ответ: а) \(\pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(-\cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(-2 \pi ;\) \(-\cfrac{4 \pi}{3};\) \(- \pi .\)