Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 23

а) $$4 \sqrt{3} \cos^3 x + \sin 2x = 0$$ $$4 \sqrt{3} \cos^3 x + 2 \sin x \cdot \cos x = 0$$ $$\cos x \cdot \left( 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \sin^2 x + \sin x \right) = 0$$ Получаем два уравнения. Первое: \(\cos x = 0.\) Его решение \(x = \cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\)

Второе уравнение: $$2 \sqrt{3} \sin^2 x - \sin x - 2 \sqrt{3} = 0$$ Это — квадратное уравнение относительно \(\sin x.\) Решаем стандартно: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \sqrt{3} \cdot (-2 \sqrt{3}) = 49.\) Значит, либо \(\sin x = \cfrac{1 + 7}{4 \sqrt{3}} = \cfrac{2}{\sqrt{3}} > 1,\) а это уравнение не имеет решений в действительных числах. Либо \(\sin x = \cfrac{1 - 7}{4 \sqrt{3}} = -\cfrac{\sqrt{3}}{2} ,\) и его решение — это \(x = - \cfrac{\pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\) или \(x = - \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I. $$-4 \pi \leqslant \frac{\pi}{2} + \pi n \leqslant - \frac{5 \pi}{2}$$ $$-8 \leqslant 1 + 2n \leqslant -5$$ $$-9 \leqslant 2n \leqslant -6$$ Отсюда \(n = -3; \, -4,\) а соответствующие корни будут \(- \cfrac{7 \pi}{2} \) и \(- \cfrac{5 \pi}{2}. \)

II. $$-4 \pi \leqslant - \frac{\pi}{3} + 2 \pi k \leqslant - \frac{5 \pi}{2}$$ $$-24 \leqslant -2 + 12k \leqslant -15$$ $$-22 \leqslant 12k \leqslant -13$$ Это неравенство не имеет решений в целых числах.

III. $$-4 \pi \leqslant - \frac{2\pi}{3} + 2 \pi m \leqslant - \frac{5 \pi}{2}$$ $$-24 \leqslant -4 +12m \leqslant -15$$ $$-20 \leqslant 12m \leqslant -11$$ Отсюда \(m = -1\) и соответствующий корень равен \(- \cfrac{8 \pi}{3}.\)

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(- \cfrac{\pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(- \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(- \cfrac{7 \pi}{2}; \) \(- \cfrac{8 \pi}{3};\) \(- \cfrac{5 \pi}{2}. \)