Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 24

а) $$4 \sqrt{3} \sin^3 x - \sin 2x = 0$$ $$2 \sqrt{3} \sin^3 x - \sin x \cdot \cos x = 0$$ $$\sin x \cdot \left( 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \cos^2 x - \cos x \right) = 0$$ Получаем два уравнение. Первое: \(\sin x = 0.\) Его решение \(x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\)

Второе: \(2 \sqrt{3} \cos^2 x + \cos x - 2 \sqrt{3} = 0.\) Это — квадратное уравнение относительно \(\cos x.\) Решаем стандартно: \(D = 1 - 4 \cdot 2 \sqrt{3} \cdot (-2 \sqrt{3}) = 49.\) Поэтому либо \(\cos x = \cfrac{-1 - 7}{4 \sqrt{3}} = \cfrac{-2}{\sqrt{3}} < -1.\) Но это уравнение не имеет решений в действительных числах. Либо \(\cos x = \cfrac{-1 + 7}{4 \sqrt{3}} = \cfrac{\sqrt{3}}{2}.\) Решением это уравнения является \(x = \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\) и \(x = - \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}\)

б) Отбор корней. I. $$\frac{9 \pi}{2} \leqslant \pi n \leqslant 6 \pi$$ $$9 \leqslant 2n \leqslant 12$$ Получаем, что \(n = 5; \, 6.\) И соответственно, корни \(5\pi\) и \(6 \pi .\)

II. $$\frac{9 \pi}{2} \leqslant \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi k \leqslant 6 \pi$$ $$27 \leqslant 1 + 12k \leqslant 36$$ $$26 \leqslant 12 k \leqslant 35$$ Это неравенство не имеет решений в целых числах.

III. $$\frac{9 \pi}{2} \leqslant -\cfrac{\pi}{6} + 2 \pi k \leqslant 6 \pi$$ $$27 \leqslant -1 + 12m \leqslant 36$$ $$28 \leqslant 12 m \leqslant 37$$ Отсюда \(m = 3\) и соответствующий корень равен \(\cfrac{35 \pi}{6}.\)

Ответ: а) \(\pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{\pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(- \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(5 \pi ;\) \(\cfrac{35 \pi}{6} ;\) \(6 \pi .\)