Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 25

а) Исходное уравнение разбивается на два уравнения. Первое: \(4x^2 + 16x + 15 = 0.\) Это — квадратное уравнение, которое решается стандартно: \(D =16 \cdot 16 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 16 \cdot (16 - 15) = 16.\) Значит \(x_1 = \cfrac{-16 - 4}{8} = - \cfrac{5}{2},\) \(x_2 = \cfrac{-16 + 4}{8} = - \cfrac{3}{2}.\)

Второе уравнение: $$\cos x \cdot \cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right) - 0{,}5 = 0$$ $$- \cos x \cdot \sin x = \frac{1}{2}$$ $$\sin 2x = -1$$ Значит \(2x = -\cfrac{\pi}{2} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \, \Rightarrow\) \(x = - \cfrac{\pi}{4} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. Так как \( \pi > 3,\) то \(- \cfrac{\pi}{2} < - \cfrac{3}{2}\) и поэтому корень \(- \cfrac{3}{2}\) не принадлежит отрезку из пункта б)

Далее \( \pi < 5,\) поэтому \(- \cfrac{\pi}{2} > - \cfrac{5}{2}.\) Кроме того, \(4 \pi > 5,\) значит \(-2 \pi < - \cfrac{5}{2}\) и корень \(-\cfrac{5}{2}\) принадлежит отрезку из пункта б).

Наконец $$-2 \pi \leqslant - \frac{\pi}{4} + \pi n \leqslant - \frac{\pi}{2}$$ $$-8 \leqslant -1 + 4n \leqslant -2$$ $$-7 \leqslant 4n \leqslant -1$$ Отсюда \(n = -1\) и соответствующий корень равен \(- \cfrac{5 \pi}{4}.\)

Ответ: а) \(- \cfrac{5}{2};\) \(- \cfrac{3}{2};\) \(- \cfrac{\pi}{4} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) б) \(- \cfrac{5 \pi}{4};\) \(-\cfrac{5}{2}.\)